https://i.imgur.com/IHefzof.jpg
如圖是學生在學校的A卷題目
但試過內心的許多性質和公式就是求不出來
雖然可以看得出是6.8.10的直角三角形但解法毫無頭緒
還請各位前輩不吝指教

高中通常會直接爆點到直線距離。可是國中的話，用範圍限制來試試看：B點比內切圓最高的點還高→q>4而且p>q→∠B>∠A→∠A<45度→q<4+2√2所以q只能是5或6。若q=5，利用頂點到切點等距可算出p=12，此時AB=13。若q=6，同理可算出p=8，此時AB=10。有二解。這題其實還滿有趣的。另一個反向操作的方法是：用內心面積公式算斜邊長=pq/2-p-q，為有理數，所以三邊長的比例是一組畢氏數組。只看二股比，即使約到最簡都一定有一個偶數，所以斜邊長也是整數。計算邊長較短的幾種三角形可知道，邊長3,4,5時，內切圓半徑=1，所以2倍放大圖的斜邊長10=AB。5,12,13的內切圓半徑=2，得到第二個AB=13。8,15,17的內切圓半徑=3，之後的都愈來愈大了，所以沒了。嚴謹一點就要用到m^2-n^2,2mn,m^2+n^2這組參數式，不過這樣就超出範圍了。詳解做法應該要先限制範圍才是好的。

從斜邊=pq/2-p-q 可以推出(p-4)(q-4)=8 然後找正整數解就可以了因為p>q 所以只有兩組 (12,5) (8,6)

利用圓切線性質就可以了https://i.imgur.com/7ptrxmi.jpg修正一下，兩邊同時+4那邊的括號裡面是(a+b)

1/2*r*（p+q+斜邊長）=1/2*p*q---(1式)，r=(p+q-斜邊長)/2---(2式)，利用斜邊長相等，可以推得樓樓上大大的因式分解等式，又可以避開和的平方公式。

這題目對國中生來說應該是會困在因式分解

感謝樓上老師的幫忙 每個方法我會再練習一遍