原文恕刪
因為我不是複變數和代數專長，所以沒辦法用數學或物理解說型月的虛數，
和科學界使用的虛數關聯是什麼，
不過可以簡述一下虛數對於哲學或文學的啟發。
虛數問題的由來普遍認為是一個面積問題：
" 將10拆成兩個正數，使其相乘為40 "，
寫成數學式就是求a與b，使a+b = 10 且 a*b = 40。
這個a與b是不可能在實數中找解的，
但若真的要用想像力來硬給出兩個數，這兩個數存不存在有沒有用不重要，
則這兩個數可以寫成 5±(√15)i 。
以往虛數(複數)被認為只是代數上的理論，沒有實際物理或工程用途，
但從高斯用複數理論證明代數基本定理(N次多項式必有N個根)，
將代數與幾何結合以後，物理開始關注複數的實用性。
到了傅立葉發明傅立葉轉換以後，工程更是大量使用複數的理論。
科學發展的起源，並不是一個定理推導另一個定理這樣的循序漸進，
很多時候都是靠著理論與大自然的觀察給出靈感。
例如代數從二元的複數一路發展到八元數，都還能符合代數環的規則，
就啟發很多物理學家往多維宇宙的研究(弦理論)。
回到複數，傅立葉轉換的應用讓小說家發現情報(information)
是可以藏在複數平面上的，這就有很大想像空間。
例如英靈殿、例如FGO的迪亞馬特、所羅門和其他害獸，
實體就被藏在我們實數平面看不到的複數空間(虛數之海)中。
然後有某個力量提供光源，把這些複數空間的資訊投影到實數平面(我們的世界)，
或是直接把他們從藏身處拉到我們的世界內。
我想，奈須蘑菇畢竟還是小說家，
要解釋他們建立的世界應該是不需要非歐幾何或是流型的理論實證，
只要發揮點想像力牽強附會一下就很好很潮了。
PS複數也是研究量子力學、量子通訊、量子訊息論的重要工具喔。

先推 不然別人以為我看不懂

我覺得小說家如果劇情跟設定，寫到讀者要去查一大堆參考資料才看得懂的話那還蠻失敗的…

今天的西洽沒有極限

要說工程用途 其實是Euler的 e^ix = cosx + isinx 有用當然 這無損代數基本定理的地位

LE是EXTRA走BAD END的IF劇情另外TM的"虛"跟"無"屬性有自己的定義雖然現在虛數空間比較單純是當作異次元那種感覺在用

弦論有名歸有名，但是不是好像...沒啥前途？

這個例子怪怪的 根號當然是實數啊

樓上你漏看了一個i

倒是跟一般認知的平行世界沒啥關係(是說這在TM中當專有名詞指的是編纂事象範圍內的那些世界)

當成多拉A夢的四次原口袋就好了

工程用途最經典的莫過於電感、電容都能當電阻算，不用解ODE。

那個是sinusoidal signal 才不用算吧

發揮作用的還是歐拉公式。FT可以用cos轉換、sin轉換或LT代替，讓FT與眾不同的還是歐拉公式。

或者說穩態吧。就是克希荷夫能處理的那些。那個做法本來就是在算特解。

二世事件簿就有一個虛數魔術使用者把虛數空間當四次元百寶袋的

虛數空間我不認識，但感覺像個fiber bundle，人要有受器才能感受到。否則只能碰到base。

複數的出現的必要性，應該從解三次方程式來的。就算三次方程式的三個根全部都是實數，在公式解的過程卻一定需要複數的運算

你光是解二次 x^2=-1就會出現複數啦問題是你出這個定義有沒有用而已

古人在解二次方程式時可以說x^2+1=0沒有解，但是卡丹公式中如果你不考慮複數，你會把一些實數的解也丟掉主要是複數比實數更好的封閉性 (非數學系請鞭小力)

這樣說好了 卡丹公式是因為擴張數系範圍，才讓他那形式變成 closed form

傅立葉轉換不是發明是發現

嗯啊，看大家要講的是複數的出現時期還是推廣時期印象中即使卡丹公式出現後，當時人因為不喜歡虛數所以還是喜歡把一些需要透過虛數得到的實數解繞過或捨去

推 這例子很實在 很有趣!!!!

大家接受的原因應該是高斯大力推廣複數平面 當時的人喜歡數學有幾何意義

這仍然是 Euler 的功勞吧e^ix = cosx+ isinx 之後 拉到平面上不是太有問題

真的 exp之後 很多式子就越來越奇怪了

三次方程式可能出現這種情況：我找到一個實數解，卻找不到另外兩個解。 這情況是有解還是無解? 同樣是三次方程式，為何有些是三個解，有些卻只有一個解?這些是解二次式不會發現的問題

你講的這問題 畫圖秒解 這個那時候的人就會作了

樓上說的是畫三次函數圖吧，卡丹比笛卡兒早了一百年啊不過卡丹公式解的問題在於如果要繞過虛數操作，對一個有三個實根的方程來說只能給出一個解，剩下兩個要透過除掉因式再解二次方程才能找到