※ 引述《royerrick (Boosgiench)》之銘言：
: → royerrick: 我一直以為平射全程空氣阻力會比較大 我算一下好了 07/31 10:37
: → royerrick: 黑呀 要積分 我算一下 確定我錯了再來道歉 07/31 10:39
這部分我查到的空氣阻力物理模型是
1. 大小正比於速率的平方
2. 方向跟速度相反
我們可以簡單點考慮一個問題...就是一個小質點在飛行，
然後受到的空氣阻力在他的速率是 1 m/s 的時候所造成之加速度大小是 β m/s^2
令 g 為重力加速度， x(t) 和 y(t) 是質點在 t 秒時候的 x&y 座標
我們可以寫出下面這個微方
x''(t) = -β√(x'(t)^2+y'(t)^2)*x'(t)
y''(t) = -β√(x'(t)^2+y'(t)^2)*y'(t)-g
如果初速度為 V0，仰角為 θ，
則 Initial Condition 為
x(0) = y(0) = 0
x'(0) = V0cosθ
y'(0) = V0sinθ
對了，你如果還沒有算出來，我覺得可以停筆了，
我不覺得這個微方有 closed form
然後我寫了個程式去算不同仰角的情況下，落地時候的速度和位置
這裡面 β 用的是 0.01 m/s^2
初速度是 67.5 m/s
重力加速度則是平常用的 9.8 m/s^2
仰角分別是 72, 60, 45, 36, 30, 25.7, 22.5, 15, 12 度
程式在這裡有興趣的可以玩玩看 (Python)
https://mega.nz/#!t51wRCQL!5UYa04xRSeIAlXdgkNWq3aTub5aAgCQlC5Sb2nRnd1Y
飛行軌跡長這樣 (那個平的直線是高度為0的線)
https://i.imgur.com/xl0RpYn.jpg
落地的距離跟落地的速度
https://i.imgur.com/PE6NQgx.jpg
雖然兩者並非嚴格遞減的關係，
不過看起來大致上水平距離越遠的話落地的速度越慢，

其實這問題從一開始就不用算，直接設定極端條件見結果就好

中世紀國王：你們這種人才去訓練弓箭手太可惜了

嗯嗯我本來也想這樣說的，無奈推文字數有限

差不多

恩恩 我也是...

quality post

這串越來越多人算這個了 WTF

推

嗯嗯沒錯沒錯我也是這麼想（看不懂

工三小==

嗯嗯 我也這麼覺得

你這個爛弓兵

不過說不定質點的假設離現實世界還很遠也說不定畢竟箭身很細長 還有羽毛

箭的質點幾乎就在箭頭上 所以還好吧

是嗎？箭桿也有相當重量吧？不知道

箭的設計中箭頭是很重的 所以質點很接近箭頭的

其實弓箭比起殺敵 戰術效果的層面應該更大

也是有便宜的拉 不過...還要分嗎 XDDDD

箭雨可給敵方嚇阻力還有牽制功能 逼對方需要防守

嗯嗯 跟我想的一樣

這可能又要看不同的箭頭了

(′・ω・‵)<馬的我真是個爛弓兵

先跟大家抱歉 那篇有一個前提我沒講清楚

箭種間的質點位置差很多 有些箭桿前端削尖就拿來射了

就是不同角度射擊 且擊中相同位置上的目標以此討論終速

箭頭沒有很重，去看古代弓箭的箭頭就知道了

跟我.....？！

roy你那個前提沒差，一樣直接用極端條件結果馬上出來

你可以看一下落地位置剛好在60度與15度時 重疊

我猜現代箭的箭桿可以做得輕很多，畢竟有黑科技碳纖維

也就是這兩個角度剛好可以擊中相同目標 然後看看終速

哪一個命中時的箭速比較快

箭身會振動跟旋轉 這部分對質點可能也要考慮

看了有些文獻裡面都說在流體裡面的阻力跟速度的平方成正比耶

回shamanlin大 你提出的這兩個例子並沒有一定解

那極端條件只有惟一解

我一直有個假設就是初速度夠快以至於命中時可達終端速

除非你設置不同條件像是往上射0阻力，水平射要穿過水不然就只有一個答案

沒錯 跟我想的一樣

那假設完全不會影響結果，你用超高初速垂直往上射最後

自由落體最多達到終端速度 平射有機會超過吧?

用終端速度掉下來，那速度一樣小於初速，不會增加的

我不確定的點是這個初速度用在平射時會不會因為距離太遠而掉到終端速度以下不過算力不夠 一直算不出來QQ 先感謝這篇大大幫解 感恩

不會，因為有設定地面時會先落地如果你沒設置地面，平射的箭一樣會因為重力往下掉但因為水平方向的速度較高，所以還是水平射擊勝

箭桿跟箭頭要一般重吧...不然射出會不平橫吧,怎麼一堆人認為箭桿沒重量...

除非極端再極端，目標終點在遠方無限低於水平面

直接畫軌跡圖應該更直觀

我說的平射其實是小角度(接近0)射擊 因為人有高度

所有水平動能全部被空氣阻力抵銷到零，然後垂直達到終

我的觀點是平(小角度)射與大角度射擊誰會勝出取決於初速度以及你與目標間的距離

一樣是小角度勝，上面極端例子已經說明了

這篇模擬提供一個證據 就是60度與15度可射擊同一目標

射擊到同樣目標為前提，小角度代表路徑短損耗少命中快

前面的人平射 後面的人拋射不是最猛最難閃嗎

平射是最難閃的，遠距離拋射因為箭的落地方向跟人的移動方向不同，加上投影面積較小，其實更難命中

並不是路徑越短 耗損越少

但全平射的話 可以拿前面的人當擋箭牌阿

補命中率問題，讓一堆人同時間一起射增加密度

但是末速度 不一定真的要算才知道 = =Y

箭桿和翔羽也很重要啊，弓箭的殺傷力不是只有箭頭，還包含滑翔的力量，不然射彈弓就好了幹嘛還那麼麻煩製作箭

這一整串都讓我想到the Big Bang theory

推 big bang theory

原來是弓箭手啊，我還以為是數學家呢

平射通常都是弩隊在用的吧

beta影響很大吧 你beta的數值怎麼來的？

....期待含亂流的分析

我記得速度慢的話是跟空氣阻力成正比而已要快一點才是平方不過箭應該算快了感覺回到普物了呢

大一普物課有寫過類似程式 只是我們用的阻力模型是正比於速度 結果好像是仰角3X度時會有最遠射程吧