※ 引述《hayuyang (鳳山蠹)》之銘言：
: 推 ianlin1216: 所以極限的定義是什麼 我現在還是看不懂 12/26 16:50
: 推 pponywong: 要懂微積分 要修高等微積分啦 12/26 16:52
不用特別修高等微積分啦，極限的概念跟中學的數學相比，
確實是很嶄新，但切記：數學理論的發展，都是為了簡化問題
所以數學不應該是艱澀難懂的東西 :)
整個極限的概念的太初之始就是 數列的極限，
其他的極限(比如函數的極限lim f(x) 這種)都只是數列極限的變形
所以我們就來看數列的極限是啥
〈從簡單的例子出發〉
考慮 An = 1/n 這個連角卷綿芽都看得懂的例子
https://i.imgur.com/M8zLo4L.jpg
不管極限定義是啥，「數列An的極限是 0」這個我想是沒有爭議的。
即使不管n多大 An 都不會是0，但顯然 An會朝著 0 前進。
從這邊出發如果要給個定義，很自然有下列這個候選：
隨著 n 越來越大， An 就越來越靠近 0。
所以 An 的極限是 0
這個定義其實很直觀，角卷綿芽都聽得懂。
但是技術上會遇到一點小問題
〈一個稍微靠北的例子〉
考慮一個角卷綿芽可能比較難想像的例子
數列 Bn = 1/n , n 是奇數
0 , n 是偶數
https://i.imgur.com/OeOhs2x.jpg
也就是說，這個數列一半像 1/n，另一半則是 0。
首先可以注意到的是：Bn 並沒有"隨著 n越來越大 就越來越靠近0"
因為Bn在奇數項直接就等於0了。
所以上面的極限定義並沒辦法說明Bn極限為0。
但...「Bn的極限是0」也是一件沒有爭議的事情。
因為Bn列車也是一路開往 0 。
有人可能想提問：啊幹 你在找碴喔？n越大數列整體還是越來越接近0啊
是的，「n越大數列整體越來越接近0」這個就是進代極限的想法
〈進代數列極限定義〉
那所謂的「整個越來越接近0」，在數學上是什麼意思呢？
不管你怎麼想，始終都會走到「n如果夠大，那Bn就會在0旁邊」這結論
再寫得量化一點：只要n夠大，Bn與0的距離就會很接近
這個其實已經夠好了，但是「很接近」是一種感覺，不是數學語言。
所以這個定義仍然需要再精進。
再榨出一些腦汁之後，終究會走到：
不管你給一個多麼小的數字 c，只要n夠大，
Bn 與 0 的距離就保證比 c 小 (當然 因為這是距離 c肯定要是正數)
這樣我們就可以量化地闡述上面「很接近」的意思。
到這裡，我們已經得到微積分課本上的數列極限定義了
只是一般課本裡面會寫成：
對於數列 An，如果給定任何正數 ε，
我們都可以找到一個分水嶺 N，在 n超過這個分水嶺之後，
An 與某數字 a 的差距都小於 ε，則我們稱 An 的極限為 a
到這裡，你對數列極限的理解已經跟數學大俠們一樣了
https://i.imgur.com/AsqHWl2.png
從此不再需要聞極限色變 :)

你就想像跟賭神對賭 然後證明他一定能比你大/小如果怎樣都證明不了 那可能就有問題

那請問An累加的極限是多少

基本的確實沒很難 有些進階的比較複雜例如一個級數正常會爆 但數學家想了新方法讓他不會爆

而且一般課本寫的不是只對無限大而已..

知名的1-1+1-1+1-1+.... 他確實是發散的但有某個我沒在記名稱的什麼什麼和真的等於1/2

極限是0的東西為啥加起來極限就不是0 意義阿里(跑

簡單來說定義可以讓你知道極限是0而非-1

那個正負1的數列和不是用一般極限定義去算的

1/2不是正常的數列和 正常的就是不存在

1按到啦 我對極限的記憶只停留在高中程度 大學雖然有工數跟微積分 但我完全不記得哪裡有在用極限 傅立葉？

但一般人不知道會不會收斂吧我更正一下 為什麼極限是0的數列加起來會發散

微積分一定會用到 只是看你是只需要公式化做題還是像真的知道你在幹甚麼調和級數本身就很神奇了比如說1/(n^x)累加 x在什麼時候才剛好會爆炸

謝謝說明 搭配chatgpt 有一點感覺了

大一微積分先接觸到的東東 棉芽都會

考試會考你怎麼用ε-δ證明一些簡單的極限但都是很好湊的東西，只是要確定你理解而已

那數學在兩個數之間也給它個最小極限 普朗克尺度怎樣(?

微積分會全壞 第四次數學危機(並沒有)數學和物理分家還是有必要的

蛤？不是趨近於0嗎？

角卷綿芽聽得懂有什麼了不起 古拉有聽懂嗎

所以2.5為什麼會被次元斬幹掉QQ？