我想問“過最低點的二階數學計算”, 好多參考書都只列出一階證明
Q1.用數學試證,短期的邊際成本（ＳＭＣ）會通過短期平均成本（ＳＡＣ）最低點。
數理證明是把ＳＡＣ做一階微分使它＝0 求得極值。
得到：
f.o.c: ∂AC/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q={(∂TC/∂Q)xQ-TCx1 }/Q^2（默念前微後不微減...）
=(MCxQ-TC)/Q^2=(MC-AC)/Q (整理)
此時若f.o.c＝0 ＡＣ出現極值條件下 , ＭＣ會等於AC
此時再用二階微分>0求得此點是ＡＣ線極小值
s.o.c:{ ∂(MC-AC)/Q}/∂Q={∂(MC/Q)}/∂Q-{∂AC/Q}/∂Q（拆開來再微分）
={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1}/Q^2- {(∂AC/∂Q)xQ-ACx1}/Q^2（再念一次前微後不微..)
={{(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}xQ-MC+AC}/Q^2 (再整理)
又MC=AC故得到
={(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}/Q
問題來了！！
要怎麼用”數學“證明MC的斜率大於AC斜率？
Q2.ＳＭＣ過ＡＶＣ最低點數學證明,方法同上
一樣做f.o.c＝0 再做 s.o.c>0
(AVC=TVC/Q)
f.o.c=∂(TVC/Q)/∂Q=∂{(TC-FC)/Q}/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q-∂(FC/Q)/∂Q
={(∂TC/∂Q)xQ-TC}/Q^2+FC/Q^2=(MC-AC)/Q+AFC/Q
=(MC-AC+AFC)/Q=(MC-AVC)/Q
在一階微分＝0 下有極值 ,此時 MC=AVC
s.o.c=∂(MC/Q)/∂Q-∂(AVC/Q)/∂Q
={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1-(∂AVC/∂Q)xQ+AVCx1}/Q^2
又因為MC=AVC得到
{(∂MC/∂Q)-(∂AVC/∂Q)}/Q
我寫到這裡也不知道要怎麼用數學證明MC斜率大於AC,雖然用圖看就是這樣..
Q3.廠商的利潤最大產量會在MR=MC，試用數學證明
也是用foc=0, soc<0求極大值:
利潤＝TR-TC
求極值：f.o.c= ∂TR/∂Q-∂TC/∂Q = MR-MC 此時有利潤極大（或極小）
s.o.c=∂MR/∂Q-∂MC/∂Q 這邊我就不知道怎麼下去了...
請高手求解,如果有觀念錯誤或計算錯誤也請不吝指教 ～謝謝！！