※ 引述《andy1230268 (Hsing)》之銘言：
: 想請教一下關於雙曲線彈性的觀念
: 一般雙曲線的需求彈性=1是精確的值嗎？
點彈性，是。
: 雖然從微分中可推導出此結果
: 但是帶數字進去算的時候發現彈性等於1
: 好像無法滿足雙曲線兩軸相乘等於固定數的條件
: ex. 50x60=3000 55x54=2970
弧彈性和點彈性，一般只會近似，而不會完全相同。
: 是因為微分當中有省略掉某些相乘項嗎？
簡單答案：是。
詳細答案如下。
考慮價格和數量的曲線關係為 f(p,q)=0,
比如說 f(p,q)=pq-100 就是雙曲線關係，
並以 f_p, f_q, f_pp, f_pq, f_qq... 表示各階偏導數。
考慮沿著曲線移動一個小量 (dp,dq), 亦即 f(p+dp,q+dq)=0.
當 (dq,dq) 是無窮小量 (點彈性)，只需要看到一階微分項，
Taylor 展開知： f_p*dp+f_q*dq=0, 得 dq/dp=-f_p/f_q,
這是點彈性為 -(p/q)(dq/dp)=(p*f_p)/(q*f_q),
雙曲線情況剛好就是 1;
假如 (dp,dq) 不是無窮小量 (弧彈性)，精確計算下，高階項就會進來了。
Taylor 展開這時是：
f_p*dp+f_q*dq+1/2!*(f_pp*(dp)^2+2f_pq*(dp)*(dq)+f_qq*(f_q)^2)+(高階項)=0,
這時 dq/dp 不再是單純的 -f_p/f_q, 一般而言二階項以上都會影響，
假如偏移越大 (弧彈性兩點距離越遠)，二階以上的項影響程度一般也越大，
就以二階近似來看，假如 dp 是已知，記為 k 好了， dq/dp 記為 x,
則上述關係是可以用二次方程
f_p+f_q*x+k/2*(f_pp+2f_pq*x+f_qq*x^2) = 0 解出的 x
作為 dq/dp 的近似，可以看出 k 越大，二階項影響越大。
特別的在 f(p,q)=pq-c 的雙曲線的例子，三階以上的項都消失了，
上述不只是近似，而是精確解了，這時有：
q+px+kx=0, 解得 x=-q/(p+k),
則弧彈性為 -(p/q)*x=p/(p+k)=p/p', p'是新的價格，
價格變大的情況下，弧彈性會小於 1.
例如價格數量關係為 pq=100, p 從 20 升到 25, q 從 5 降到 4,
根據上述弧彈性就是 20/25=4/5, 與定義得出的 20/5*1/5=4/5 一致。
: 還是彈性造成的價格數量變化不能直接這樣算？
: ex.點彈性 弧彈性
: 想了很久還是不解 麻煩大家了 謝謝！