※ 引述《rfvtgbtgb (rfvtgbtgb)》之銘言：
: 最近在書上看到一條公式
: 1+2+3+4+........=-1/12
: 有沒有這條公式會成立的八卦??
這個很簡單
本來Rieman zeta function 的series form
+inf
zeta(s)= sigma n^(-s)
n=1
只在Re s > 1 的半平面上收斂
1859 年B. Riemann 把zeta(s) 解析延拓到整個複數平面上
(除了s=1 有simple pole)
也就是說存在一個解析函數 他在整個平面上除掉s=1 這個點之外都有值
而且在Re s > 1 這個部分跟原來的zeta(s) 一樣
一般來說 解析延拓若存在則唯一 (但不一定存在)
於是 雖然上面的級數在s=-1 代入得到1+2+3+4+5+..... 看似不收斂
但是我們還是可以給他一個值 那就是(做過解析延拓後的) zeta(-1) = -1/12
BTW 如果你能證明在0 < Re s< 1 的區間裡 (叫做critical strip)
zeta 函數的零點都落在Re s = 1/2 這條線上
<- 這是Riemann 在1859 年那篇paper 提出的猜想 叫做黎曼假說
(Riemann hypothesis)
那麼你就會得到一百萬美金
目前已知起碼有五十個以上的解析數論"定理"都assume 黎曼假說為真
因為有這件事真的很不錯 但是沒人能證明這件事為真
以上 相信對八卦版鄉民而言 這些只比1+1=2 稍微難一點而已
謝謝指教~