所以依照這樣的推論,
+inf
sigma n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... = 1/120
n=1
1^0 + 2^0 + 3^0 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2
1^5 + 2^5 + 3^5 + ... = -1/252
1^7 + 2^7 + 3^7 + ... = 1/240
但是
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ... = +infinity.
真是違反一般直覺的有趣結論.
不過重點在於"解析延拓"(analytic continuation).
: ※ 引述《rfvtgbtgb (rfvtgbtgb)》之銘言：
: : 最近在書上看到一條公式
: : 1+2+3+4+........=-1/12
: : 有沒有這條公式會成立的八卦??
: 這個很簡單
: 本來Rieman zeta function 的series form
: +inf
: zeta(s)= sigma n^(-s)
: n=1
: 只在Re s > 1 的半平面上收斂
: 1859 年B. Riemann 把zeta(s) 解析延拓到整個複數平面上
: (除了s=1 有simple pole)
: 也就是說存在一個解析函數 他在整個平面上除掉s=1 這個點之外都有值
: 而且在Re s > 1 這個部分跟原來的zeta(s) 一樣
: 一般來說 解析延拓若存在則唯一 (但不一定存在)
: 於是 雖然上面的級數在s=-1 代入得到1+2+3+4+5+..... 看似不收斂
: 但是我們還是可以給他一個值 那就是(做過解析延拓後的) zeta(-1) = -1/12
: BTW 如果你能證明在0 < Re s< 1 的區間裡 (叫做critical strip)
: zeta 函數的零點都落在Re s = 1/2 這條線上
: <- 這是Riemann 在1859 年那篇paper 提出的猜想 叫做黎曼假說
: (Riemann hypothesis)
: 那麼你就會得到一百萬美金
: 目前已知起碼有五十個以上的解析數論"定理"都assume 黎曼假說為真
: 因為有這件事真的很不錯 但是沒人能證明這件事為真
: 以上 相信對八卦版鄉民而言 這些只比1+1=2 稍微難一點而已
: 謝謝指教~