※ 引述《a45306521 (wolf)》之銘言：
: 我的學妹突然問我數學問題 可是我的不會
: http://i.imgur.com/Y1gUCqv.jpg
君子風 降!!
前面的高人提到了配方法，微分等等
但那些方法都太難了 （按：筆者微積分被當，未重修）
幸好筆者創立了 賤夠式 數學
不配方, 不微分, 只要會解 一元一次方程式 就可以解這題
原題要把 26 分給兩個數, 稱為 a, b 兩數, 使 a + b = 26, 並使 a^2 + b^2 最小
問 a, b 各多少.
這題看以看成:
雙胞胞姊妹被罰,合喝 26 cc 的苦茶
身為哥哥的你, 怎麼分配誰喝多少
你把苦茶在兩姊妹各自的杯子 a, b 之間倒來倒去
小妹妹的哭喊聲, 和分配到的苦茶量的平方成正比
如何讓兩姐妹的哭喊聲總合為最小.
有幾種分法，例如 全部都分給(妹妹) b (即 b=26), 那麼 a 得到 0
這樣 a^2 + b^2 = 0 + 26^2 = 26^2 ...[結果1]
這畢竟是一個 "極端" 的分法，如果從 b 撥一點點給 a 會怎麼樣？
(會不會讓平方和變小？)
假設從 b 裡取了 d 給 a ( d 是一個很小的正數 )
a 變成了 0 + d;
b 變成了 26 - d
那麼以上兩數的平方和：
(a + d)^2 + (26-d)^2 = 26^2 - 2d(26-d) ... [結果2]
這個 結果2 和 [結果1] 相比，明顯變小了
因為它是 [結果1] 減去了 2d(26-d)
因為 d 是一個很小的數，故此式 2d(26-d) 為正數
[結果1] 減去了一個正數，當然就變小了
於是我們知道了:
1.一開始分成兩個極端的數, 0 和 26, 然後從 26 分一點給 0 ，會使得平方和變小.
2.甚至再分一點，就再變更小.
3.但不能無止盡地分給 0.
4.因為如果全部分給 0 , 那麼本來的 0 變成 26, 而本來的 26 變成 0 了.
等於兩數對調了，仍然是 "極端" 的狀況
(本來是妹妹哭得太大聲, 變成姐姐哭得太大聲了, 你忍心嗎?)
所以:
在 "從 b 漸漸分撥一點給 a" 的過程，會使平方和漸漸變小，
但在某一時間點應會達到最小, 再繼續分撥，反而會變大了
(即: 從妹妹的杯子裡慢慢倒苦茶到姐姐的杯子, 在某一時間點哭聲總合會最小)
那麼在什麼時候要停下來呢？
就是在 "分撥後平方和反而會變大" 時停下來. 很簡單吧？
那怎麼表達 "繼續分撥會使平方和變大" 呢？
假設:
a 經由先前的分撥, 已經大到變成 A { 那麼 b 變成了 (26 - A) },
此時我們再分撥 x 會使平方和變大
(再從妹妹的杯子倒給姊姊, 姊姊增加的哭聲會大於妹妹減少的哭聲)
以上假設,寫成式子,
原平方和:
A^2 + (26-A)^2 ... [結果3]
從 (26-A) 分撥 x 給 A, 則平方和為:
(Ａ+x)^2 + (26-A-x)^2 ... [結果4]
也就是說 [結果4] 大於 [結果3] 就是我們要停下來的時候
也就是 [結果4] 減 [結果3] 要大於 0
用 [結果4] 減 [結果3] 得到下式
(4A-52)x + 2x^2 ... [結果5]
所以 "繼續分撥會使平方和變大" 表成式子就是 "[結果5] 要大於 0", 即 :
(4A-52)x + 2x^2 > 0
上式中, 左方第二項的 2x^2 必大於零（因為平方）
所以如果 (4A-52)x 若能等於 0 , 就能確保整個 [結果5] 會大於 0 了
所以 (4A - 52) 要等於 0
於是我們的問題變成解這個一元一次方程式:
4A - 52 = 0
解上式可得 A = 13
也就是說, 將 26cc 苦茶平分給兩姐妹, 各得 13cc, 哭喊聲的總合會最小. 很簡單吧?
小學妹需要 賤夠式數學 家教嗎?