※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 所以再講一次 與其說0.999....=1 不如更了當的說 0.9999..定義成1
: 本來不是一個數字 但我們把它定義成 0.9+0.09+0.009+...所趨近於的那個值 也就是1.
看了半天只有這篇回答得最好。
貼一個我的舊文來。
要理解 0.9999...... 這問題之前，
請先想想你覺得什麼是實數吧。
什麼是實數？
如果很粗率地說，
你用你的腳掌去量距離（先撇除一些太複雜的問題）。
為什麼用腳掌？
因為你是迷信科學教的信徒你只相信自身經驗不相信滿天鬼神。
所以你得用身體或身邊器具親自去量。
你發現，
喔，從你家樓下到隔壁那個正妹的家的樓下，
剛好是50個腳掌的距離。
太好了你記錄下一個 50。
你發現從你家樓下到附近那個手搖飲料店，
剛好是300個腳掌的距離。
太好了你記錄下一個300。
可是你覺得你這樣量似乎太粗率。
你發現你的手機似乎有半個腳掌大小，可是還多了一些。
那到底它有幾個腳掌大？
好像比起半個他又多出不到四分之一個，
其實也比八分之一小一些……
就這樣你用了一次切一半的方法一直量下去。
但你真的相信這樣量下去有個終點嗎？
再換個東西好了。
你用你的腳掌畫出長度後，
你拿這長度畫了個正方形。
這時候你發現這個正方形的斜對角線的長度很怪。
（熟悉的朋友當然知道我想講的是√2）
他似乎大約有一個半腳掌，可是不到一個半。
你發現他似乎是
一個腳掌 + 四分之一個腳掌 + 八分之一個腳掌 + 三十二分之一個腳掌 + ？
每次切一半，你覺得這種測量會有盡頭嗎？
如果沒有盡頭，
你真的相信有這種數字存在嗎？
或許你覺得，切一半這種方式大概不佳。
可能切成三分之一，或五分之一，或一三八一分之一？
也許總有一種切法可以在測量時走到個終點，得個乾淨整數比例？
因為經驗上你發現腳掌的三分之一沒辦法用切一半的方式量盡，
可是把他當一次切三分就直接了當了嘛！
可是結果是，上述測量正方形斜邊，
沒有任何一種切法能恰當把他量乾淨。
還不只正方形斜邊。
你用腳掌大小的木棒畫出的圓，圓周也難以量乾淨。
甚至當你發現當初你測量某些距離量得太粗率，
想要量精細一點時，都會發現似乎好些距離都沒辦法量出很乾淨的數。
（背後的證明先不論了。假設你天資超好已經親自證明過這幾大難題。）
這種情況下，
你真的能相信那個沒有終點的數存在嗎？
如果他存在，他到底是個什麼數？
難道只能叫做無以名狀？
好吧也許某些特殊的常用數你可以給個名字，什麼√2還π的，
但你發現每天的測量生活裡遇到太多這種怪物了，
對於有精確潔癖的你，
太多這種無以名狀不知所謂的奇怪距離了！
怎麼辦？
假設你有著精確潔癖，
你不能接受
「我家樓下到隔壁門口大約50又16/113個腳掌」這種話，
那麼你的測量生活就充滿困擾了。
有沒有妥協之道？
難道精確測量的精神真得放棄？
解決的方法有一種，
就是把事情沒做完沒關係，推給明天就好了。
正方形斜邊？
反正他就是一種測量程序，
大概是一個腳掌，啊又多出4/10個，又多出1/100個，又多出4/1000個，
反正你相信這樣測量可以達到「想要多精確就有多精確」就好了啊！
於是你承認了某些測量程序基本上可以「逼近某個數」。
但是問題又來了。
其實有時候同一個終點似乎可以經過不同的測量程序到達呢！
例如吧，我們上面曾經說過，你用一次切一半的方法量正方形斜邊，
你發現他似乎是
1腳掌 + 1/4個腳掌 + 1/8個腳掌 + 1/32個腳掌 + 1/128個腳掌 + ……
這種測量法跟上述每次切十分之一，所達到的終點有沒有不同？
直覺上應該要一樣啊？
可是誰跟你說他會一樣？
你不覺得兩種測量法，每次都不太一樣長嗎？
所以咧？
難道換個測量法，得到的答案會不同？
這時候你會發現，
上述問題還是有辦法解決。
因為這兩種測量法都是「好的」測量法，
他們每次測量彼此間雖有差異，可是那差異是愈來愈小，
最後似乎會小到微不足道。
什麼是微不足道？你不是精確狂人嗎怎能容忍微不足道這種話？
這，已經沒辦法了，只能當作妥協的終點了。
不要擔心你內心永不妥協的堅持，
古希臘多少賢哲就差這一步就沒走向微積分。
可是算了，放棄阿波羅精神，向浮士德投降吧（Ostwald Spengler）。
你現在接受了
「只要某兩個測量程序彼此差距愈來愈小，小到最後微不足道，
這兩個測量程序就相等。」
那麼，上述兩種測量程序就算相等吧。
（當然這裡又有個問題是，什麼是相等？
也許對你來說你不喜歡狗所以每隻狗都相等都是討厭的傢伙，都相等，
可是對我這愛狗人士來說，每隻狗都有個性都不等。
反正這裡不扯太多，簡單講就是你把一堆程序都劃入同一終點就是。）
這也就回到所謂
0.999999999…… = 1
的問題。
訴諸直覺好像有點怪：
0.999999999…… 不是就跟 1 差那一點點嗎？
但如果我們知道所謂 0.999999999……
只是指這樣一個無窮程序：
雖說你本來不確定那個點到底是不是1（也許眼睛有點花），
但當你每次以10為單位細分你的刻度時，
都會發現他確定比第9單位還多，
那麼我們只能說這個點和1的距離「可以任意小」，
這樣的測量程序，
我們不得不說這個點根本就是1了。
（以這個程序最後收斂的終點來說的）
其實所謂循環小數也就是這樣的測量程序，
直覺意義常體現在不同進位法的情況下：
三進位的 0.1 在十進位標尺下只好是 0.333333……。
就彷彿本來天然一個三分之一，
換成十進位標尺就會發現每次測量都比第三格多一點。
我中學時一直對循環小數感到疑惑：
為什麼隨便這樣寫就可以說有這種數？
當時雖不知「存在性」這術語，
心中的懷疑確實與存在性有關。
一直到了解 Cauchy seq 的概念，才算對他更確定了點。
（試想若非小數點， 111111…… = Σ10 ^ n 就不能說存在。）
0.999999999…… = 1 這問題也不是只發生在十進位上。
如果你採二進位，
你會發現
0.111111111…… = 1
（上述 0.111111…… 意思是指二進位的，
就是Σ(1/2) ^ n ）
意思也是：
每次都比半格多，
這種程序的「終點」和 1 的距離也是「要多小就有多小」，
也就是「收斂到1」，
當作一個「數」時我們就說他等於1啦。
注意到不是每個測量程序都是好的程序。
上面我對壞的程序只講了 11111...... 這個無終點的無限大。
再舉一個。
假如你正在測量某神人拉斯普丁的某部位（一個能抵兩個吃！），
你發現：
第一次量，他比 1 個腳掌長些，
第二次量，他比 1 個腳掌還多出 1/2 個還多些，
第三次量，除了前面的，他還多出 1/3 個還多些，
第四次發現他多出 1/4 個還多些，
第五次發現他多出 1/5 個還多些……
（因為他似乎偷偷變長了？）
結果你發現這位神人……
真是仰之彌高，鑽之彌堅！
他的長度是根本測量不完啊！
所以你只能放棄這個程序，這不是個好程序。
換成數學語言，
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ......
不是個收斂的數列，你難以給他指定個確定的終點。
這類壞的測量程序還不少。
簡單說，不是你隨便亂寫一個累次加法就能確定有終點的。
不過無窮小數倒還好，
他保證有終點，
但不要以為這種測量就是絕對唯一就是。