大魔法師肥宅 周末沒人約 只好來發發廢文
1. 如果要證明這個級數和存在是相當簡單的問題。
有個定理是說:
如果一個數列遞增有上界 則極限存在。(其實這定理跟實數稠密性等價)
利用這個定理，令
a_n=1+1/4+1/9+...+1/n^2
當n遞增時，則這數列顯然遞增。
顯然這數列有個上界 a_n<1+1/2+1/6+....+1/(n-1)n<2 後面的等式用分項向對消法
因此極限存在。
因此下個問題自然是問說這極限到底是多少?
推文提到了幾個方法，通常工數教的就是傅立葉分析，但是並不是很"直觀"的
解決這問題。當然這問題要算極限有很多辦法。
在歷史的角度這問題在白努力的手中沒有解決
後來是Euler把這問題解決的 是他身為數學家的成名作之一。
他的想法相當單純且巧妙。概述如下:
基本上他的idea是從大家學過一個簡單的事實
考慮一個二次多項式叫做f(x)則如果知道他的兩個根叫做a,b
則會存在一個常數c使得 f(x)=c(x-a)(x-b)
同理n次多項式如果有n個根，也會有類似個結果。
*如果把這個簡單的想法 推廣到無窮多項式"Power series"如果可以成立*
這個觀點就是解決這問題的關鍵。
Euler的觀察:
sin x=x+x^3/3!+x^5/5!...... <== sin x在0點的泰勒展開式
然後我們又知道
sin x有零根在0,±π,±2π,...,±nπ , 對所有的正整數n
因此利用剛剛提的想法想法，應該存在一個常數c使得
x+x^3/3!+x^5/5!......=sin x
=c*[x*(1-x/π)(1+x/π)(1-x/(2π))(1+x/(2π))..(1-x/(nπ))(1+x/(nπ))..]
假想把那個無窮乘積展開，由x的一次項可知右邊的係數是c
因此比較可以得到c=1
更近一步觀察x^3係數，可以看出來無窮乘積的係數是:
1/π^2+1/4π^2+.....+1/n^2π^2+..=(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2)
但是另一邊泰勒展式給x^3的係數是1/3!=1/6
因此可以得到:(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2)=1/6。
所以整個證明其實關鍵就在"Power sereis"是不是可以有多項式的定理。
那這件事在這情況是對的，雖然Euler也不知道為什麼對。但是
他天才般的直覺讓他解決這問題。
至於這個事實之所以正確是需要複變數函數論 也就是 Weierstrass的工作，
很少大學部數學系會教到這個定理有點可惜。
這些無窮級數和應該都是有意義的 只是人類都還沒有弄清楚。
比方說跟K group的關係等 我也只是路過的時候 聽人說說而已。
另一個複變的做法 就是考慮大家最愛討論的zeta function
然後想辦法用留數定理去算s=2的取值。ㄎㄎ
※ 引述《tkc7 (至情至性)》之銘言：
: 各位理組肥宅安安
: 小弟廢物文組魯蛇
: 什麼數列級數的通通用不到
: 記得之前看過
: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 會發散
: 因為可以拆成無限多的1/2相加
: 會發散是可以理解的
: 但我就不懂為什麼
: 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+...
: 不但會收斂
: 而且還收斂到π^2/6
: 竟然出現了π^2這神奇的數字
: 完全不知道從何而來
: 有沒有理組的大大能解釋這當中的八卦
※ 引述《tkc7 (至情至性)》之銘言：
: 各位理組肥宅安安
: 小弟廢物文組魯蛇
: 什麼數列級數的通通用不到
: 記得之前看過
: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 會發散
: 因為可以拆成無限多的1/2相加
: 會發散是可以理解的
: 但我就不懂為什麼
: 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+...
: 不但會收斂
: 而且還收斂到π^2/6
: 竟然出現了π^2這神奇的數字
: 完全不知道從何而來
: 有沒有理組的大大能解釋這當中的八卦