※ 引述《jacklin515 (二中U文生產器)》之銘言：
: 根據數學的「定義」0.9999999999…就等於1
: 不過在全知的觀點上0.999999999…永遠會向1逼近 但也永遠不會碰到1
: 所以本質上是兩個不同的數 只是無限接近
: 因為中間永遠差0.00000000…1
: 數學為了解決這個bug 所以用一個定義「繞過」這個爭議
: 我話說完 誰贊成 誰反對
: 我文組啦抱歉
Hey 這位文組的同學，我贊成你「定義上」0.999999...=1，但是反對你說數學家為了解決
這個bug才硬是定義成這樣窩。
對於0.999999999...=1這個等式,有兩件事情必須先釐清:
(1)0.9999....是什麼意思?
(2)0.999999... =1的等號是什麼意思?
(1)
對於0.999999....是什麼意思,很多人會說「就是0.9999.....然後9一直寫不停阿」,可
是抱歉,「寫不停」並不是一個數學上嚴謹的概念。也就是我們無法直接將0.999.....當
作一個有定義的數字。讓我們從頭建構數字就會比較清楚了(只是大概而已,歷史上
不一定真是這樣的順序,不過對我們了解我們可掌握的數字沒影響):
對於古代人來說，他們可能為了數數(數蘋果或貨物等)而發明了自然數(也就是1、2、3...
等的概念),
然後有欠債的觀念而進入整數的觀念(...-3、-2、-1、0、1、2、3、...)
然後有分配的觀念而進入有理數的觀念(如2/3 7/4,也就是分子分母都是整數的數值)
讓我們在這裡停一下,你有發現0.9999999......這個東西根本不存在我們的建構裡嗎？
請記得我們的有理數要寫成 "整數/整數" 的形式
所以0.9999.......作為「數字」根本不存在，幫QQ
事實上,0.99999.......只是一個「記號」而已，這個記號你應該這樣解讀：
令 X_1=0.9
X_2=0.99
X_3=0.999
X_4=0.9999
.
.
.
然後讓0.99999...就是代表取數列{X_n}的極限(也就是那面那堆數列的極限)
(by the way, 就是取極限的過程讓你覺得它一直在動)
接下來,我要解釋極限的概念也就是(2)
(2)
如果你有學過微積分,一開始大概都會學'丟它-欸鋪西龍'的觀念,也就是說極限
這個概念在數學上已經是「完好定義且嚴謹」的觀念惹.在這裡我只想大概說一下：
對於一個數列來說,它的極限值(假設這個極限值存在)就是某一個「數字」(假設
是A)，A跟這個數列的關係是當數列的index越大,則數列的值跟A的差距越小
要注意的是A這個值「重頭到尾」都要是一個固定的值,不可以跟著數列在變。
所以你回頭看，X_n的極限值是不是就是1這個「數字」呢
也就是說0.999...=1的「等號」，並不是我們從小學的那個1=1,3=3,6-4=2的那個等號
這個「等號」，實際上的意思是「極限值是」的意思。只不過對於數學家來說，我
們可以很容易分清出在不同情形下的解讀方法，所以才沒有另外定義別的符號。
實際上你要把極限是寫成別的符號，比方說'≡'，是OK的。此時就變成0.999...≡1惹
以上，你了解0.9999999999.......=1的內涵了嗎:))))))))))))))
註:
(1)
有人會寫類似以下這種證明:
令x=0.9999......
=> 10x=9.9999999.....
(下面的式子減上面的式子)=> 9x=9
=> x=1
但事實上這不是證明,因為這論證過程已經假設知道0.999...是什麼了(而且還知
道它*10是什麼意思囧)
這個過程只是一個能夠幫你找到「有理數-分子分母的形式」的演算法罷了(像0.878787...
=87/99)
(2)你也可以發現,對於人類來說,我們只能經由「有限」來了解「無限」的概念。
所以你可以看到每一個X_n的9的個數,都是有限的
QQ