拓樸學與幾何學的關係-
前一篇說過 拓樸學是一門研究空間性質的學問
但是對於沒聽過「拓樸學」這個名詞的人來說 所謂「研究空間性質」的學問 大家會
想到的是什麼學問呢？ 應該想到的是「幾何學」吧
那麼， 拓樸學 跟 幾何學 有什麼不同呢？
由於國高中數學的緣故 對於大多數人來說「幾何學」就是等於「歐基里德幾何學」(
也就是在玩點、直線、圓、平行線...等)
但是隨著微積分的發展 幾何學已經引入了微積分的技巧 而使得專家們可以開始研究更隨
意、更扭曲的幾何物體
並且研究這種彎曲的空間已經是目前數學家認知的幾何學的主流 也因此,當數學家們講「
幾何學」時 通常他們心理指的就是「利用微積分技巧來研究的幾何學」，這種學問通
稱「微分幾何學」 (BTW, 請先忽略也有代數幾何學這種東西XD)
(如果有學過微積分的同學 我可以稍微提一下一個利用微積分的技巧來研究幾何學的概念
以曲面為例 首先 有了微分後 我們就可以算曲面上任意某個點的切向量 接著我們會讓該
點沿著曲面移動 然後觀察切向量的變化 這些變化就會透漏出 曲面的彎曲資訊)
雖然微積分是很有利的工具 但是它也有很多缺點：
第一個缺點是 它只能拿來研究「圓滑」的幾何物體
比方說大家可能都知道在某些邊邊角角的地方 就無法微分 像是桌子的桌腳是90度角的話
就無法在桌角算它的微分值(嚴格來說 其實還是可能找到好的參數座標使得這種點可以
微分,不過這種微分的結果一定是0 而在微分幾何上也不喜歡切向量是0的狀況 所以還
是會排除這種case)
這是一個非常嚴重的問題 至少你環顧四周 應該會看到各種有角度的物體吧! 所以這代表
微分幾何能研究的幾何物體的範圍被大幅限縮了
第二個問題是 「微分」是一種「局部性」性質(local property)
先解釋一下什麼是局部性性質
當你想要知道某一個函數 f(x) 在某個點p 可不可以微分時, 你只需要去研究f(x)在
p「附近的」行為就可以了
你不需要去理會 f(x) 在另外一個 點q 的行為
因此，可微分性是一種局部性性值 所以微分幾何的缺點就是你只能知道你想研究的空間
每個點的局部資訊 而無法了解整個空間所擁有的性質 有種以管窺天的味道
與局部性性質相對的則是「全域性」性值(global property)
舉例來說 f(x) 是不是一個一對一函數(one-to-one)就是一個全域性性值(所謂一對一函
數 指的是對於任意不同的兩點 p、q，則 f(p) 不等於 f(q),也就是不會有不同的點
被函數f打到同一個值)
要檢查f(x)是不是一對一函數 你一定要知道f(x)在它定義遇上「每一個」點的值 才能知
道它是否是一對一 因此是個全域性性質
既然幾何學(微分幾何)有這些缺點 你可以說拓樸學某種程度上補足了那些缺點:
一、拓樸學考慮的空間不需要具備有微分結構(differential structure) 所以拓樸學可
以拿來研究有邊邊角角的物體
二、拓樸學研究的拓樸性質基本上都是「全域性」性值 比方說整個空間是否「有破洞」
就是一個拓樸性質 像是甜甜圈就是一個中間有個洞的曲面
當然，如果你想研究的已經是一個「圓滑的」空間(也就是你可以對它用微積分的技巧)
你依然也可以同時用拓樸學的技術來研究它
驚人的是，數學家們已經發現了微分結構跟拓樸性質之間有某些關係了 也就是說我們已
經發展出一些能夠把局部性質跟全域性質連結起來的理論(ex: Gauss-Bonnet theorem 或
Morse theory等 有興趣的話請google它們)
個人認為這是很美麗很漂亮的結果(題外話 華人數學大師陳省身教授就對於Gauss-Bonnet
定理在高維度空間的推廣有極重大的貢獻也因而引發了數學家們對於拓樸理論上的某種
特徵類的研究 這種特徵類以陳教授的姓氏命名 就叫做「陳類」(Chern class))
接下來就要談一下在前一篇說好的「依拓樸性質將空間分類」惹
不過好累 還是讓我先休息一下
(未完待續)