※ 引述《ferertrh》之銘言：
: 作者: ferertrh (tea) 看板: Gossiping
: 標題: [問卦] 一句話講出群表示,線性代數在幹麻?
: 時間: Fri Apr 20 02:28:53 2018
: 身為一個精熟必修課的人來說
: 必定可以一句話跟初學者講清楚
: 這門課在講甚麼,最重要的精神是甚麼
: 可惜多數教授都照本宣科,讓人抓不到重點
: 如果是各位高手來教
: 會怎麼講?
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d364/36402.pdf
Gelfand 說 「所有的數學就是某類表示論。
(All of Mathematics is some kind of representation theory.)」
在數學來講, 還有一個更明確的涵義, 也就是 把一個對象的代數結構
再現於一個由線性變換或矩陣構成的具體對象上
表示論大致分成三部分: 群的表示理論, 代數的表示理論和李代數的表示理論。
我們對術語有了精細的解讀, 也看了一些基本例子。 由這些我們可以看出表示論的基本
思
想有兩點: 一個是對稱, 一個是線性化。
代數結構反映了對稱性, 這要怎麼理解。 用正方形和圓來講, 正方形很對稱, 圓比它更
對
稱。 這從代數結構的角度會比較容易理解, 以群來說, 保持圓不變的群要比保持正方形
不變的
群大得多。 把圓和正方形放到二維實空間上, 中心與原點重合, 過原點的反射和旋轉都
能保持這
個圓不變, 是可逆性變換, 它們全體在映射合成下封閉, 於是成為一個群。 但是, 想保
持正方形
不變的例子就很少, 正方形不變的反射只有兩個, 旋轉只有四個, 比圓要少得多, 從代數
結構上
可以看出圓的對稱性比正方形要好得多。 所以代數結構的表示, 給出了代數結構的線性
化, 也反
映了相關線性空間的某種對稱性。 這是互惠互利的, 通過表示在線性空間得到一種對稱
, 反過來
說, 在線性空間對稱的, 對研究代數結構也非常有幫助。