事實上，我們可以定義無窮遠點與射影空間來實現平行線交於無窮遠的想法。
n+1
對於n>=1，考慮R -{0} 與其上一個equivalence relation
(a_0,...,a_n) ~ (b_0,...,b_n) 若存在非0實數c使 ca_i=b_i for all i。
n n+1
定義射影空間RP 為 R -{0}/~
n n
可將R 打進RP by (a_1,...,a_n) 打到 (1,a_1,...,a_n)。無窮遠點定義為a_0=0的點集，
n-1 n
同構到RP 。無窮遠外的點與R 形成一一對應關係。幾何圖像上可看為考慮n+1維空間的
球面並黏合對徑點。
2 2
在這樣的定義下可以看出，R 上的兩條不同直線在RP 中恰有一個交點。
考慮射影空間的理由可以是因為他補足了affine space的不足。例如有Bezout theorem
2
表明在CP 中的兩個代數曲線的 intersection number 可以由兩者的 degree 相乘得到。
2
在C 時會因為沒有無窮遠點導致有交點解不出來。