先說結論，你的模型太粗糙~~~
太多有影響的細節都被省略。
所以，你推導的結果是沒有多少意義的。
想要知道
到底是開整天省電
還是使用前再開省電
最簡單的方法，"看電錶"
把你想要比較的使用方式先確認好
然後記錄下不同使用方式時，電錶跑得圈數。
這樣就會有結果了。
不用算個老半天，結果模型太粗糙，推論結果不能用。
要是無法隨時看電錶，那就維持電費帳單來比較。
※ 引述《a58524andy (就先這樣吧)》之銘言：
: 尤其熱水水箱不大那種啦
: 冬天來你只能開小水，不然熱水馬上就沒了
: 租進來的時候還都會特別講說
: 「喔我們這個熱水器你一直開著比較省電喔」
: 一直不懂這個宣稱到底怎麼算的
: 我的想法大概這樣
: 熱傳遞速度應該跟溫差呈正相關
: 假設要維持熱水固定在80度、20小時的總能量計為X焦耳
: 而這桶熱水沒有外界電能輸入的情況，假設在20小時之後會是室溫
這裡設定有問題，你假設了不管如何只要沒有額外加熱，20個小時後水都會回到室溫。
但事實上，並不一定如此。
你必須考慮到儲水裝置的隔熱能力與水裝了多少
: 這段時間散發的總熱能為Y焦耳
: 那麼我們可以知道兩件事情
: 1. X > Y
: 散熱過程中，前者都是保持跟室溫有著大溫差的
: 後者隨著時間溫差越來越小
: 而熱傳遞速率應該正相關於溫差
: 考慮相同時間(20小時)，可以明顯看出這個結果
: 2. Y = (重新把水溫加到80度的能量)
: 道理很簡單嘛，我從5F掉到10F的能量等同我從10F爬到5F需要的能量
: 水的溫度一樣意思
: 綜合以上兩點，很明顯可以看出如果要在20小時後有80度的熱水的話
: 需要的總電能其實是一直開著會比較高
: 而熱水器基本上是個效率100%的東西，沒有所謂加熱時效率比較差的問題
每個加熱裝置與其搭配的控溫系統，其原理不近相同。
以及目前還沒有能源轉換效率100%的系統。
況且，你真正付的是"電能的錢"，不是"熱能的錢"。
你該思考的是該用怎樣的測試才能知道哪種使用方式會讓你的電費單上數字比較低。
: 畢竟效率不到100%基本只有一個可能叫做廢熱
: 啊熱水器來說熱就是主要目的了齁
: 也就是房東根本在唬爛洨= =
: 以上，有沒有小容量儲熱式根本出給房東賺電費的的卦