https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
https://www.youtube.com/watch?v=1emC3ncjblU
朗蘭茲綱領由Robert Langlands在1960年代發起，為傅里葉分析的廣泛推廣，試圖將三個
數學領域連結起來：數論、幾何和函數域，因此被稱為數學的大統一理論。傅立葉轉換是
將波形轉換成正弦波級數，進而分析波形的頻譜。Langlands認為數論和函數域之間也存在
類似傅立葉分析的波形-頻譜對應關係:波形類似函數中的特徵函數，每個特徵函數都有特
徵頻率，正弦波頻率是個數字，而特徵函數頻率則是無限數列。至於頻譜端，Langlands則
認為數論中的對象能標示特徵函數的頻譜。
數論中的費馬大定理就是透過發現幾何中的谷山-志村猜想與之等價後完成證明的，因此完
成朗蘭茲綱領勢必能大大推進數學研究-證明幾何中的猜想就能證明數論或函數中的猜想，
反之亦然。
數學家首先思考幾何朗蘭茲猜想對應的頻譜側應該是什麼樣子。他們首先想到緊緻黎曼曲
面(球面、甜甜圈及多孔甜甜圈)。一個黎曼曲面有一個相應對象-基本群，它跟踪了環繞曲
面的不同環路。數學家推測幾何朗蘭茲對應的頻譜側應該由基本群的某些提煉形式組成，
這些形式被稱為其「表示」，而黎曼曲面基本群的每個表示應該是一個頻率標籤。
1980年代芝加哥大學的Vladimir Drinfeld提出通過用特徵層取代特徵函數來創建幾何朗蘭
茲對應。1990年代早期，Beilinson和Drinfeld展示了如何使用物理學中的共形場論來構建
特徵層。
1990年代中期Gaitsgory在聆聽Beilinson關於幾何朗蘭茲項目的演講後決定全心投入其中
。2013年馬克斯普朗克研究所的Gaitsgory撰寫了幾何朗蘭茲猜想證明的綱要。後來
Gaitsgory和多倫多大學的Nick Rozenblyum寫了兩本關於層的書。
2020年疫情爆發時Gaitsgory團隊撰寫了朗蘭茲計劃函數域的論文，其中包含了後來成為幾
何朗蘭茲猜想證明的關鍵部分：理解每個特徵層如何對白雜訊做出貢獻的方法。在幾何朗
蘭茲計劃的世界中，特徵層扮演正弦波的角色。Gaitsgory團隊確定龐加萊層充當了白雜訊
的角色。但是他們不知道每個特徵層是否在龐加萊層中有表示以及它們是否具有相同振幅。
2022年春天，耶魯大學的Raskin和他的研究生Joakim Færgeman意識到最棘手部分是處理
基本群的不可約表示，他發現可以將不可約表示的問題簡化為證明三個都在可達範圍內的
事實。
最終Gaitsgory,Raskin,Arinkin,Rozenblyum和Færgeman等九人完成了證明，他們將800頁
證明分成五篇論文並放到網上。
德克薩斯大學奧斯汀分校的 David Ben-Zvi 說:「在其他任何領域中，從未有過如此全面
和強大的結果被證明。」
數學家接著將研究幾何朗蘭茲綱領與量子物理的聯繫，將結果擴展到帶有穿孔的黎曼曲面
。Gaitsgory團隊已經在將幾何朗蘭茲證明轉化為函數域方面取得進展，如果成功，將大大
推進函數朗蘭茲猜想的證明。目前菲爾茲獎得主Scholze也在努力連結幾何和數論朗蘭茲猜
想。