第五題
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答案
https://i.imgur.com/KXaMeSf.jpg
想要請問要如何知道K是可對角化的？
想要請問劃紅線的那段 是如何知道eigenvalue
拜託各位大大了

K^3=k =>K的minimal polynomial整除於x^3-xK[111]=0=>[111]是k相對於0之eigenvalueK[1,2,-3]=[1,2,-3]=>[1,2,-3]為k相對於0的eigenvector所以k有兩個已知的eigen value 0,1另一個可能是0或1或-1

應該是k=k transpose，故k為對稱矩陣，然後特徵值應該是k=k^3移項變成k-k^3=0利用Cayley Hamilton 得到特徵值

然後k為對稱矩陣=>k可正交對角化=>k可對角化好像不能用cayley hamilton?他只說k^3=k沒有說這是他的特徵方程式？

我在把他想成f(A)=A-A^3 剛好又等於0，但不知對不對就是了

不太對，假設k=0，那k也會滿足這個方程式，可是k的eigenvalue是000，所以你只能說他的minimal polynomial會被x^3-k整除，因為minimal polynomial會表現出所有的eigen value

那我想問一下，既然是這樣的話，那k應該要符合四個條件，所以解答應該只能有ㄧ個答案才對啊，為何兩個都可以寫？

1.知道可對角化2.知道eigenvalue只能是0,1,-13.知道eigenvalue有一個04.知道eigenvalue有一個1所以你只知道兩個第三個eigenvalue可能是0,1,-1

樓上正解，紅線第三點表示nullity至少為1，所以不可逆，特徵值至少一個0，第四點你應該會