A: n*n
Q1. V = CS(A) 直和 N(A)，什麼時候只需要證一個條件「V=CS(A)+N(A)」或「CS(A) 交
集 N(A) 是零空間」就好？還是任何時候只需證一個條件就好？
Q2. A是nonsingular，則 V = CS(A) 直和 N(A)
=> 我的答案是：Yes
=> 想法：
nonsingular 代表所有x不是0的，Ax都不是0，也就是Ax= 0 只有0解；交集N(A)時是零空
間，滿足直和定義中的其一條件，形成直和
Q3. A是singular，則 CS(A) 和 N(A) 無法形成V的直和
=> 我的答案是：Yes
=> 想法：
Singular 定義為 存在一個x不等於0 使得Ax等於0，那麼CS(A) 交集 N(A) 不是零空間，
所以不滿足直和兩個條件中的 交集是零空間，所以沒辦法形成直和
Q4. A^2 = A(idempotent)，滿足條件 eigenvalue 不是0就是1，那如果有eigenvalue=0
的不是代表A是Singular嗎？那根據Q3 這樣不就矛盾了？
以上是我的問題
請大大幫忙，感謝QQ..

1.2沒問題 問題是3 ker中含x不為0不代表x也會在Image中比如xy平面跟z軸形成R3 他們的交點仍然只有0應該說 不論何時要證明V為ker(T)跟Im（T)之直和 只需證兩者之一 但如果是其他空間的直和並不會有這樣的性質

只要T是V→V且linear 也就是只要A是方陣應該都行

了解了！！ 謝謝各位大大

Q1 Friedberg 第二章有一題就是在講這個。結論是 T 是 L(V) 且 V 有限維時證一個就好。查了一下是第四版 2.1 的第 35 題Q2 就是 Q1 的結果，因為這時兩個交集顯然只有 0Q3 未必對。投影函數隨便抓一個就是反例Q4 投影函數的其中一個等價條件就是冪等所以其實 Q4 就造了原 Q3 的反例