https://i.imgur.com/0vrluxo.jpg
這題在問z*196的order
order應該是指’循環群’ 元素a^m=e 的m
但這題問的是 o(G) .
沒有問是哪個元素生成的循環群
做法直接用互質的數 說明order 應該不對吧？
https://i.imgur.com/g5KqyLP.jpg
上一題的說法是當作乘法mod是循環群
但是wiki找到的好像不是(看不太懂
這題4和19互質 但是4沒辦法生成z19
能說明乘法mod不是循環群吧？
那這樣第一題的order 問法跟解答應該都不對？
困擾很久 感謝

樓下TEPLUN

order不是指那東西，原本order指的就是群的大小簡單來說就是那群裡面有多少元素循環群裡面元素剛好就是m而它今天需要組成一個群，就代表要有乘法反元素也就是說，是蒐集所有跟196互質的東西

講完之後好像釐清了0.0！ 感謝rice大

挑小毛病，不是Z*196的元素我講得不太完整，對群來說的order是大小沒錯但對元素的order有兩種定義方式，一種就是以這元素做為生成元所生出的循環子群的order，另一種定義方式就是你寫得a^m=e的最小的m，這兩種是等價的以一致性來看我是比較喜歡第一種，第二種是運算上方便

想請問R大 如果這樣的話第一題怎麼能保證phi(196)就是最小的m呢？

Z*196本身不是循環群，跟m沒關係 這邊講的m是元素order舉例來說，Z*19是循環群，可以找到一個元素2生成它自己反過來說，在Z*196裡是找不到能生成自己的元素的但不管怎麼說，任何元素都能自己生成一個循環子群而子群的order一定能整除原群的order對mod乘法群的order來說大概知道到這裡，再加上那幾個定理就差不多了吧

不好意思想要問一下Rice大一個題外話,Z*n如果要是循環群,那麼n就要是質數嗎？

不用是質數，例如Z*4也是循環群，不過Z*8就不是了

Z*4也是循環群嗎？那他的generator是什麼呀？

搞懂 Z*n 的定義 然後自己把Z*4列出來 不就行了不會列就沒討論的意思 會列也就不用討論了

Z*4只有兩個東西，1跟3，3是generator另外高斯其實有個好結論，他說Z*n是循環群iff n=1,2,4,p^k,2p^k p為奇質數

好喔謝謝Rice大

喔，我發現漏看原po文裡面一個錯誤的地方Z*19的確是循環群，你說4跟19互質這件事情是在加法群時才有的事情，在這裡你要看成4是2^2，而群的order是182跟18不互質，所以4=2^2不會生成整個群

謝謝R大我搞懂了