已經知道Ax=b的minimal solution是去掉解中ker(A)留下R(A^T)的部分
還有當least square solution有無限多解時會有R(A^T)+ker(A)的表達方式
那為什麼minimal solution不會是least的R(A^T)的部分呢
例如這題(d)(e)：






d的解中[-2 0 2 0]^T是R(A^T)
s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]是ker(A)
照我第一句話來看的話不是應該要直接去掉s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]就會是minimal嗎？
而且e求出來的答案也是[-2 0 2 0]^T - 28/51[-2 1 0 0] + 32/51[1 0 -3 1]的組合
這樣不就和minimal在R(A^T)這點矛盾嗎？
我知道least square和minimal各自怎麼算
只是合在一起一直想不透不知道哪裡觀念有錯><
先謝謝各位～

minimal是講長度最小 應該跟含不含ker(A)沒關係？

可是e是求minimun-length的least square solution

［-2.0.2.0］應該不屬於RAt 是那個解集的空間裡面 只有一個屬於RAt 所有才要找那個min sol一開始取找least square 就只是隨便抓一個解+兩個生成的向量如果一開始取的就是R(A)^t的話 那就是你講的狀況沒錯我是這樣想啦 有錯再幫我糾正qq

因為你第一句就錯了 形成直和的空間不會唯一 比如取span(1,1) 或span(1,0)都跟span(0,1)形成直和 所以沒辦法直接那樣扣

目前理解是～least解出來不一定是R(A^t)+ker的形式 所以不能直接扣 但是像T大說的直和不唯一 所以如果把這個解轉換成R(A^t)+ker 那麼就可以直接扣 想請問這樣理解對嗎><

如果你轉成那形式了，那就已經找到R(A^t)上的解也沒什麼好去扣的了以順序來說，那解的集合其實不是「空間」，你可以想像在三維裡面它是不通過原點的平面而其中離原點最近的那個點被稱作minimal，也同時會滿足它要在R(A^T)裡面，也就是通過原點垂直那平面的那條線實際上是來自於N(A)的正交餘空間是R(A^T)的緣故也就是說，那個解集合是一種「商空間」而這商空間裡面任何一個點都可以拿來作為代表向量用詞錯誤，上面我講的商空間應該都改成商空間的元素

e 小題 講的是least square 上最小長度，不是AX=b上的最小長度，所以 最小長度公式的b 不能帶Ax=b的b,要對b做投影才可以得到，之後再把新的b代入 最小長度公式即可。