題目在這
https://i.imgur.com/tSuTp4o.png
前面求N(T)的Basis沒有問題，問題出在後面求R(T)的Basis
我知道老師利用維度定理解出R(T)是三維，但為什麼他可以直接取
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) 當作基底呢??
不是應該要按照前面的定理(圖片的右方)，先在原本的地方找一組基底(四維)
利用Im(T) = Span(T(s)) 去求出 Im(T)的Basis嗎??
這邊再提出幾個疑問，請問老師教的這兩個定理，是可以互相通用嗎??
如果題目是 V->V 只能用第一個Span(T(s))的方式求基底，
或是V->V' 那就必須使用維度定理??
再請各位大大幫忙解答了，謝謝。

因為已經知道是R^3裡面的3維子空間，所以必定是R^3既然如此，在R^3裡面隨便找三個線性獨立向量就會是基底你就算用基底射到基底的方式找到另外三個獨立向量張開的空間明顯一樣，只是多此一舉

我有試過用基底射到基底的方式找到 另外一組基底請問這個基底也可以當作答案嗎??

當然可以

所以老師前面的例題https://i.imgur.com/Oapo1jA.png其實可以停在找到(1,0) (0,1)為R^2的基底就是答案沒必要在繼續往下做了是嗎??

因為前面已經說了nullity是0，所以dim(Im)=2的確是沒必要繼續做了但這些都是因為nullity為0才這麼好做而已，沒必要深入應該說剛好跟整個空間一樣大

這邊想再請教一下我這樣的觀念有沒有錯nullity由自由變數個數判斷，rank由 Pivot個數判斷

rank就是pivot個數，而不是pivot的變數就是free所以nullity的個數跟free一樣

不好意思，不太懂這句的意思"pivot的變數就是free"

至於另一種想法是每個free都可以讓你寫出一個ker的向量不是pivot的variable就是free variable

謝謝大大耐心地回答，受益良多^^

你可以看看前面章節，關於通解、特解、其次解的內容，應該可以解決你的疑惑