https://imgur.com/q4FYnF4
答案是 (a)(c)
想不到 Q1和 Q2 個別有甚麼樣子關係 謝謝~

如果你不知道正交對角化，題目也跟你說Q是一個orthonormal matrix，代表行向量是單位向量且彼此正交 所以行向量彼此內積為0 自己跟自己內積為1(b)我覺得是因為A對自己的eigenvector，在eigenvalue=0時，Ax=0x=0成立 有錯請幫小弟指正

謝謝m大，至於(b)會是因為rank(A) =r 嗎？

感謝你，沒看到這個 那我覺得我應該沒有錯，就是說明A不可逆，所以A會有個eigenvalue是0

其實Q1, Q2有更深的含義可以用SVD來解釋另外 可以證明Q1Q1^T, Q2Q2^T會是idempotent 這樣a選項才選的出來https://i.imgur.com/pyrHjJm.jpg簡單說就是Q1的行空間等於R(A), Q2的行空間等於ker(A)所以rank(Q1)=r, rank(Q2)=n-rhttps://i.imgur.com/624zlHp.jpg這是直觀解釋 所以b為什麼會錯就是因為Q2所有行向量都是ker(A)的基底，AQ2乘起來自然是零矩陣

其實它題目沒出好，不然就是答案沒有(a)因為它沒有規定Λ的樣子，我們沒辦法確定Q1就是所有非屬於ker(A)的基底

原來如此 我想的太淺了...請問一下 這樣(A)選項的Q1Q1^T直觀意義是什麼？哦哦 是投影到R(A)的矩陣？ 先假設Q1是range(A)的話

嗯

https://i.imgur.com/ho5Se1B.png 為何會等於呢 ?

A是symmetric

噢抱歉原來是題目說明 Orz不過這題 如果非對稱，答案所提及的性質應該也不變 ?

沒辦法正交對角化啊主要是SVD的U跟V不一定一樣，不然如果這題講明了就是SVD，而且只考慮U的話，那性質的確是一樣的

我想是我直觀解釋那part有點混淆 那裡只說明維度一樣如果A不對稱的話，R(Q2)就不會是ker(A)了，而是ker(A^T)，這還是要用SVD解釋這題的關鍵就在R(Q2)是ker(A)A選項那邊 R(I - A1A1^T)不需要對稱的條件就能證明他是ker(A)了 但要有對稱才能證出R(Q2Q2^T)也是ker(A)C選項也是建立在同樣的條件當然前提是他有說明清楚對角矩陣的值有照順序排好講錯了... B選項也是建立在同樣的條件

對，我只顧著Q2會是ker，忘了注意那是A^T的不過(C)什麼都用不到，只要Q是正交就會這樣喔，你是指C選項講錯

嗯嗯 抱歉我發現又有一個地方打錯QQ上面那應該是R(I - Q1Q1^T)不需要對稱的條件