想請問第八題（1）：
https://i.imgur.com/BKcr083.jpg
關於實對稱矩陣有很多性質
且我目前熟悉的是 有以下：
1. 可正交對角化（orthogonal Q)
2. 其特徵值必為實數
3. 根據1.和 Jordan form的內容可知
不同特徵值產生的特徵向量空間
必然都互相垂直
如題，如何能確定...特徵值必正？
然後這種狀況 又容易混淆 （半）正定性

你看錯題目意思了，題目就是在講如果正定，這兩個條件就等價如果有(1)就有(2)，有(2)就有(1)

哦哦，所以兩個去互推（若且為若）就行了嗎？

嗯，我第一行「正定」這兩個字算是多的應該說成是你想知道實對稱是否正定，這兩個條件判斷其中一個就好

另外想請問 如何確定實矩陣的特徵多項式=0 會有全為實根因為在對稱矩陣上總是說「如果有特徵值 則必為實數」但能保證 特徵值的存在性似乎也不能用實數回推有特徵值（否則就循環論證）

你的問題其實就是實矩陣的特徵值是否一定是實數這個答案是錯 需要加上Hermitian的條件才會對另外存在性的問題要看你去哪裡找這個特徵值一個實矩陣的特徵多項式一定是實係數多項式n次實係數多項式一定有n個複數解 且虛根會成對Hermitian矩陣特徵值一定是實數的證明完全可以從複數空間推論 所以沒有問題

就實數來說 Hermitian的確和對稱同義n次實係數方程式一定有n個虛數解，且虛數成對存在，因為這樣相乘之後係數才會是實數，這邊的解就是特徵值這是方程式的基本原理，不用想到線代這麼複雜的部分

Hermitian不只是有實根，是全部都實根這有講到Hermitian矩陣都會證明啊Ax=λx，xHAx=λxHx，而xHAx因為與其共軛相等，所以是實數，也因此λ是實數

我懂你的意思了，但是我不太清楚怎麼從那個角度去證明，只能寫出以下通式證明，希望能有幫助要注意，實對稱這個條件，而不是實矩陣就好http://i.imgur.com/alHtijK.jpg

實對稱本身就是Hermitian，你既然接受Hermitian的根都是實數，那實對稱的根當然也都是實數，這跟那特徵方程的關係已經不大了

二次型就是xTAx啊，「正定」指的的就是二次型的正定

二次型式就是你筆記第四點那個呀