各位好：
在練習向量空間時遇到一些問題，
我試著寫出想法，還請各位不吝指教，謝謝！
1.
https://imgur.com/oHS1ic9
(1) W1我的想法是，0函數時f(x^2)=[f(x)]^2是成立的，
所以這個集合不是空集合，再來任取f(x)、g(x)屬於W1，
移項可得f(x^2)-[f(x)]^2=0，最後取α屬於實係數，
則αf(x^2)+g(x^2)= α[f(x)]^2+[g(x)]^2成立，
所以W1是V的子空間。(但答案顯然不是XD)
(2) W4是因為0函數不滿足f(3)=1+f(-5)，所以不是子空間嗎？
(3) W5是因為零函數為連續函數，非空集合，且若f(x)、g(x)為連續函數，
則取α屬於實係數，αf(x)+g(x)也為連續函數，滿足封閉性，
所以W5也為V的子集合嗎？
2.
https://imgur.com/SfiBSzm
W1 U W2的表示法，y=0或y=-x，y=-x是怎麼來的呢？
3.
https://imgur.com/1I1ti7O
我將題目理解為下列哪些是S的生成集，表示各選項是否可以生成S吧？
之後將S表達為{a(1,1,1,0)+b(0,1,-1,-1)}，
並將選項內的向量和題目的兩個向量去做列運算，
https://imgur.com/xUYrBC6
如上圖，第四行就算再消去也不會變成零列，那不就表示選項1的兩個向量
無法組合出(0,1,-1,-1)這個向量嗎？還是我理解上有問題呢？
4. 題目：Find a 2 by 2 matrix A such that ColA=NullA
https://imgur.com/zoqgqEn
我的想法如上圖，那只要是這兩個矩陣的任意係數倍組合都是答案囉？
(參考答案給的是我寫的第三個矩陣[1 -1]，不太會打矩陣所以將就一下)
[1 -1]

1(1)你要考慮的對象是(f+g)(x)1(2)對，而且有常數的時候基本上加分都out2 y=0就W1，y=-x就W2，大哥....3 選項1確實沒辦法4 請注意你相減的步驟加個常數後續也會對2*2矩陣的rank 只有0 1 或2三種可能rank =2那null space只有0rank=0那range也只會是{0}所以對2*2的矩陣而言，range =null只會發生在rank =1的情況下嗯...結論上所有符合條件的矩陣都相似於2*2的上三角或者下三角矩陣省略過多lol，反正有點eigenvalue 的概念就很簡單不然你也可以從討論A^2=0下手

1.(1)跟4.如下，其他就樓上講的https://i.imgur.com/OIVRJoy.jpg1.(1)取的函數的要改成f(x)=2^ln(|x|), if x € R-{0}, and f(0)=0沒注意到x € [-inf,0]的情況,g(x)同理

你那是歐元...？

歐元XDDDD