手機排版請見諒，魔杖背後的歷史十分有趣，但我簡短的回答問題！
魔法源自於巫師自身，即使在沒有魔杖的情況下也能使用魔法，也就是原Po提到的各類狀況，但是在缺乏魔杖的情況下，魔法是不穩定且危險的（在《怪獸》電影當中出現的闇黑怨靈也是在無法控制的狀況下所誕生的詛咒），因此在11歲以前發現有魔法天賦的孩子需要進入魔法學校進行學習。
提到魔法與魔杖就不得不說說歐洲以及美洲在魔法使用上面最大的差異，也就是有無使用魔杖。美洲原住民巫師界對於魔藥製作以及動物相關的魔法特別有天賦，例如美洲的幻獸師與製藥師不需要魔杖也能施展複雜的魔法；而魔杖的起源於歐洲，可以引導魔法，施展精細且強大的法力，並且許多偉大巫師或女巫的魔杖也十分為人所知。
參考自：哈利波特仙境（許多Rowling額外寫的歷史及短篇可以在上面找到厲害大大的翻譯）
如有錯誤或觀點請大家一起討論！