看到為什麼tap數越多越好
就讓我想到之前有教授解釋過採樣率越高為什麼越好
跟人耳聽不到的頻率這種玄學無關，而是有純粹科學的解釋
以下說明因為我很久沒碰訊號與系統，有錯誤請指正
先來複習一下採樣定理
這是一段聲音訊號在 time domain 會像下圖一樣
同樣一段聲音訊號經過 Fourier transform 在 frequency domain 的圖形如下圖
該訊號經過採樣(數位化)後就只剩下以下的紅點
點的間距為(1/44kHz 1/48kHz 1/96kHz...)
這些紅點經過 Fourier transform 在 frequency domain會變成
可以看到除了原先中央的訊號外
在所有為採樣頻率f的整數倍上的位置會有相同的圖案(綠色部分)
那麼要把已經數位化的訊號還原成類比就要通過一個low pass filter(圖中方框)
把那些重複的部分濾除
就可以還原成原本的類比訊號(藍色部分)
這邊補充一下，若是取樣頻率不夠
會造成藍色部分與綠色部分重疊
導致濾不出原本的藍色部分
而圖中的方形low pass filter 經過 inverse Fourier transform 回到 time domain
會是下圖中的sinc function
這個從數位到類比的過程大致上如下圖所示
每個紅點放入對應的 sinc function 後相加回原本的訊號
理想上的 sinc function 是無限長的且 non causal
無限長很好理解，non causal指的是在還原 t=0 到 t=1之間的訊號時
就需要把未來的第 2 3 4 個點的 sinc function 相加 (橘線藍線粉線)
因為我們沒辦法預知未來，所以理想上的 sinc function 無法實作
也就是說實務上沒辦法做出一個方形的 low pass filter
一般能用的 low pass filter不是那麼完美
越陡的衰減在中央平坦處就會有抖動(藍線)
而中央越平坦衰減的斜率就越不陡(黃線)
那麼增加採樣率的效果在 frequency domain 如下圖
可以看到要濾除的綠色部分跟中間藍色部分距離比較遠
讓我們能夠比較容易設計出中央平坦的 low pass filter (紅色梯形)
在 cut off frequency 的衰減斜率也不用那麼大
而增加 tap 數的好處則是可以讓 low pass filter 越接近理想的矩形
以上就是為什麼增加取樣頻率與 tap 數會更好還原出原本的聲音