※ 引述《Dawsen (好友名單不見了啦...)》之銘言：
: ※ 引述《darkseer (公假中)》之銘言：
: : 設條件成立但A>B (顯然A>=B)
: : 首先有A(p)>=B(p) iff [A/p]=[B/p]+[(A-B)/p] for every prime p.
: : 設C=A-B 則有 [A/p]=[B/p]+[C/p] for every prime p.
: : 由於此時B,C已有對稱性, 不失一般性設B>=C
: : 考慮連續整數 {1, 2, ..., C} 和 {B+1, B+2, ..., B+C}
: : 對任意p, 可知上面兩組連續整數中被p整除的數有一樣多個(因[A/p]=[B/p]+[(A-B)/p])
: 這之後不太懂
那是我沒寫完整XD
完整的證明寫起來有點長, 而且蠻難表達的..
如後:
: : 以對每個p的冪次來比較兩組連續整數的積
設{B+1, B+2, ..., B+C}中被p整除的數被p除後商分別為b_1,b_2,...,b_n
則{1, 2, ..., C}中被p整除的數被p除後商分別為1,2,...,n
(顯然b_1, b_2, ...,b_n為連續整數)
設{B+1, B+2, ..., B+C}中p的冪次最大者為B(p)=p*b_i
則 {B+1, B+2, ..., B+C}中p的冪次和 - {1, 2, ..., C}中p的冪次和
= {b_1, b_2, ..., b_n}中p的冪次和 - {1, 2, ..., n}中p的冪次和
= {b_i, 1,2,...,i-1,1,2,...,n-i}中p的冪次和 - {1, 2, ..., n}中p的冪次和
<= {b_i, 1,2,...,n-1}中p的冪次和 - {1, 2, ..., n}中p的冪次和
= b_i中p的冪次 - n中p的冪次
<= B(p)中p的冪次 - 1
又{1, 2, ..., C}中沒有大於C的質因子=>{B+1, B+2, ..., B+C}中沒有大於C的質因子
故有(B+1)*(B+2)*...*(B*n) / 1*2*...*n
= 對所有質數p的下式的積
p ^ ( {B+1, B+2, ..., B+C}中p的冪次和 - {1, 2, ..., C}中p的冪次和 )
= 對所有<=C的質數p的下式的積
p ^ ( {B+1, B+2, ..., B+C}中p的冪次和 - {1, 2, ..., C}中p的冪次和 )
<= 對所有<=C的質數p的下式的積
p^(B(p)中p的冪次) / p
<= (B+C)*(B+C-1)*...*(B+C-k+1) / 1*2*..*k = C(B+C,k)
: : 會發現後者的積除前者的積 <= C(B+C,k) 其中k表示1,..,C中的質數個數
: : 然而後者的積除前者的積 = C(B+C,C)
: : 於是 C(B+C,C) <= C(B+C,k), 但(B+C)/2 >= C > k 矛盾 (其中C(n,m)為組合數)
: : 細節我沒時間打了..不過我檢查了不少遍,應該沒問題