2018 年 7 月 10 日 星期二
4. 平面上的一個點 (x,y)，若 x, y 都是小於或等於 20 的正整數，被稱作
「網格」。
一開始，全部 400 個網格都是空的。甲和乙兩人輪流放石頭。先由甲開
始。在甲的回合，甲將一個新的紅石頭放到一個空的網格上，使得任意兩個
放紅石頭的網格距離都不是 √5。而輪到乙時，乙將一個新的藍石頭放到任
何一個空的網格上（放藍石頭的網格與其他放石頭的網格之間的距離，不管
是多少都可以）。直到其中有一個人不能再放石頭時，他們就停止。
求出最大的 K 使得不論乙怎麼放石頭，甲都保證至少可以放 K 個紅石頭。
5. 令 a_1, a_2, ... 為一個無窮長的正整數數列。假設整數 N > 1 ，滿足
對每個 n ≧N，
(a_1 / a_2) + (a_2 / a_3) + ... + (a_{n-1} / a_n) + (a_n / a_1)
都是整數。證明存在一個正整數 M 使得當 m ≧M 時，a_m = a_{m+1} 恆
成立。
6. 一個凸四邊形 ABCD， 滿足 AB * CD = BC * DA。點 X 在 ABCD 內部，滿
足 ∠XAB = ∠XCD 且 ∠XBC = ∠XDA。
證明 ∠BXA + ∠DXC = 180°。