讓我們看一下教室裡上新數學課的情形。
教師在問：「為什麼 2 + 3 = 3 + 2 ？」
學生毫不猶豫的回答：「因為兩者都等於 5。」
老師帶著責備的口吻說，「不對，正確的答案是：因為加法是服從交換律的。」接著問，
「為什麼 9 + 2 = 11？」
學生又立即回答：「9 加 1 是 10，再加 1 就是 11。」
「又錯了，」老師大聲喊著說。「應該說是根據 2 的定義，我們得知
9 + 2 = 9 + (1 + 1)
再根據加法結合律，有
9 + (1 + 1) = (9 + 1) + 1
再從 10 的定義得知 9 + 1 是 10，又從 11 的定義得知 10 + 1 是 11。這才是正確答
案。
顯然這一班學生表現不夠好，於是教師提了一個較簡單問題，「7 是一個數嗎？」學生被
這樣簡單的問題弄糊塗了，認為簡直不值得回答；但是由於對老師習慣性的服從使然，一
致肯定的答對。這可把老師嚇呆了。「假如我問你們是誰，你們怎麼回答？」
學生現在都戰戰兢兢地不敢貿然作答，不過一位比較膽大的孩子還是說了：「我是羅拔史
密斯。」
老師像是不肯相信，用譴責的口氣回答道，「你說你是羅拔史密斯這個名字？當然不是！
你是一個人而你的名字才是羅拔史密斯。讓我們再回到先的問題：7 是一個數嗎？當然不
是！7 祇是一個數的名字。5+2，6+1，8-1 都是這一個數的名字。符號 7 祇是代表這個
數的一個數字罷了」。
老師發覺學生對這種區分不能接受，便試用另一種方法。她問道，「3 這個數是 8 這個
數的一半嗎？」雖然她又自己答說：「當然不是！但是數字 3 確是數字 8 的一半，8 的
右半邊」。
此時學生們幾乎要衝口說出，「那麼究竟什麼才是數？」不過由於一再答錯，他們已不再
有勇氣與心情發問。這點倒是幫了教師一個大忙，因為要真正解說什麼是數，實在超出了
這位教師能力之外，有關數的正確解說也是無法為這批學生所理解的。從此以後，學生都
會小心翼翼地說：「7 是一個數字，不是一個字」，至於什麼是數，學生就永遠不得而知
了。
老師倒沒有被學生一再出錯的回答所困擾，又再問道，「我們應該如何才能正確地表示出
，介於 6 和 9 之間的所有正整數？」
一個學生答道，「不就是 7 和 8 嚒！」
「不對」教師回答著說。「應該說是所有大於 6 的正整數集合和所有小於 9 的正整數集
合的交集」。
集合的用法就以這類方式傳授給學生，並認定這樣才算是精確。
當這位迷信精確語言價值的教師想問學生，一堆棒棒糖是否和一幫女孩子數目相等這個問
題時，於是他這樣問學生，「棒棒糖的集合與女孩子的集合問是否存在一個一一對應的關
係呀？」結果可想而知，學生對這個問題不會有任何反應。
教師仍不氣餒，又提出一個問題：「用 4 除 2 是多少？」
一個聰明的學生立刻答道：「負 2」。
教師詫異之餘就反問，「這個答案，你是怎麼得來的？」
「是這樣的」，學生說，「你曾經教過我們，除法就是連減，所以我從 2 減去 4，就得
到負 2。」
這些可憐的孩子，放學後，實在應該稍為輕鬆一下，可是家長卻急即想知道他們的孩子在
課業上有了些什麼進步，於是又向他們查詢。一位家長問他八歲大的孩子，「 5+3是多少
？」他得到的答案是，根據交換律 5+3=3+5。家長大吃一驚不得不換另一種問法：「那麼
，5 個蘋果和 3 個蘋果，是多少蘋果？」
這個小孩不太懂得「和」就是「加」的意思，所以就問，「你是說，5 個蘋果加 3 個蘋
果？」
這位家長連忙答是的，並期待着回答。
「啊」，孩子答道，「不論你說的蘋果，梨子或書本，都沒有關係，在任何情形下
5+3=3+5」。
另外一位父親關切小兒子的算術學得怎麼樣，就問他情形還好吧。
「不很好，」孩子回答說，「老師不斷的與我們討論結合律，交換律及分配律。但我只知
道去加，並且計算出正確的答案，所以老師對我不滿意」。
這些小小的例子，或許說明了目前所謂現代數學或新數學課程的一些概況。至於這項課程
的主要特徵以及優缺點，我們隨後將細加研討。
不過在下一章，我們先對「舊」數學的課程作一簡單的介紹，藉以瞭解究竟是什麼課程上
的缺失，方才促使「新」數學的發展。
(Morris Kline,《新數學為何失敗》)