把以前的舊文拿來貼
因為已經被消失惹:0000
其實所謂現行的π
大家應該都知道有很多做法
像是常見的
1.利用泰勒級數爆開
2.把圓分成無限等分 然後用1/2absinθ去逼近π的值
不過網路上面有一個很有趣的作法
推薦給各位參考參考
簡而言之
這個方法的主要目的就是找格子點
何謂格子點(Lattice point)? 就是在笛卡爾座標系上X,Y都是整數數值的點
我們可以先觀察 在圓的半徑從1開始每次加1後
會穿過的格子點分別是
Radius^2 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Lattice points 數量: 1 4 4 0 4 8 0 0 4 4
乍看之下 感覺沒什麼規則
可是其實我們可以把這些不同的半徑分類
像是以半徑平方為25為例
碰到的格子點有:(0,5) (0,-5) (5,0) (-5,0) (3,4) (3,-4) (-3,4) (-3,-4)
(4,3) (4,-3) (-4,3) (-4,-3)
總共有12個格子點
可是如果半徑平方式11
那他一個格子點都不會碰到
換句話說 沒有兩數平方和會等於11
下一步 我們引入複數 也就是高斯平面的概念
假設我們(3,4)為例子 在高斯平面上面我們可以把他寫作3+4i
然後高斯平面的操作就先不贅述
簡而言之 可以透過乘以他的共軛複數或者市長的很像的複數做變化
而在進行這些變化的時候 得出來的乘積剛剛好就是3^2+4^2=25
因此可以透過這些方法找到 固定圓的半徑時所有的格子點數量
這些格子點轉換成高斯平面上的複數 稱之為 Gausian Integer
現在來討論質數這東西
把一個數字質因數分解
可以得出幾乎是只有一個解答
像是60=2^2*3*5
不過因為我們也可以把其中的質數轉換成為負數
因此他的分解也有多種模式
回到高斯integer
Gausian integer也可以進行類似的操作
像是(3+4i)和(-3+4i)之間的關係一樣
可以運用此作法得出所有的組合
至於組合數就是排列組合算一算就可以得出來
像是5 我們可以寫作(2+i)(2-i)
我們便稱其中的(2+i) 及 (2-i)為高斯質數
因為他們不像5一樣可以在被拆解成更小的Gausian integer
透過這項定義 我們可以發現 如果是除以4餘1的質數
他們都可以被拆解成為高斯質數 所以他們本身不是高斯質數
也就是說如果他們是畫在高斯平面上的圓形 他們必定會碰到格子點
我們現在總算開始歸類的
把歸類的索引視為χ
如果除以4餘1的話 歸類為χ(1)=χ(5)=χ(9)=>1
如果除以4餘3的話 歸類為χ(3)=χ(7)=χ(11)=>-1
至於偶數的話就歸類為χ(2)=χ(4)=>0
會這樣歸類的原因是
像上述 除以4餘1的數字可以分出新的Gausian integer
可是如果是除以4餘3的話 甚麼都分不出來
穿插一個重要的點 χ本身是可以相乘的
因為如果一個除以4於1的數字 乘以 除以4餘3的數字
最後會得到除以4餘3的數字
原理來源是因為mod
像是要找半徑平方是45的圓形所通過的格子點
我們會把它拆解成 3^2*5
而他的格子點數量算法是
4(χ(1)+χ(3)+χ(3^2))*(χ(1)+χ(5))
=4(χ(1)+χ(3)+χ(5)+χ(9)+χ(15)+χ(45))
=4(1-1+1+1-1+1)
=8
所以我們終於可以用質數 也就是質因數分解表示格子點數量了
最後 我們把它畫成幾何的概念
計算一個圓形所包括的面積 有點像是找一個半徑超大的圓形裡面的格子點總和
我們整理一下所有數字的格子點數
可以發現有下列規律
https://imgur.com/1C84ZSx.jpg
而格子點的總數的算法便是
https://imgur.com/EPfxGqW.jpg
最後 當圓形的半徑逼近無限大時
π便是上圖的數字和
source:https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY