※ [本文轉錄自 NTU-Exam 看板 #1FvPOtcT ]
作者: r44 (嗄四四) 看板: NTU-Exam
標題: [試題] 100下 陳金次 高等微積分二 期末考
時間: Sat Jun 23 18:10:58 2012
課程名稱︰高等微積分二
課程性質︰系定必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2012/6/23
考試時限（分鐘）：180
是否需發放獎勵金：Yes
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.方程組 x + y + uv = 0
xyu + v = 0
問在下列各給定點附近，u,v是否可表為x,y的函數?
若可，其可微分性如何?
(a) (x,y,u,v) = (1,1,√2,-√2) (b) (x,y,u,v) = (0,0,0,0)
2. 下列二敘述正確否? 請證明之或舉反例。
(a)
f屬於C^1(R),f'(x)≠0 for all x屬於R，則f的反函數g在R上大域存在(exists globally)
且g屬於C^1(R)
(b)
T屬於C^1(R^2),J_T(x)≠0 for all x=(x,)屬於R^2，則T的反函數S在R^2上
大域存在(exists globally)，且S屬於C^1(R^2)
3.
∞
給定f屬於C^2[0,∞)，滿足 ∫ |f(x)| + |f''(x)| dx < ∞ 。
0
試證: lim f(x) = lim f'(x) = 0.
x→∞ x→∞
4.
方程組 f(x,y,z) = 0
g(x,y,z) = 0
f,g 屬於 C^2在(x_0,y_0,z_0)點附近，| f_y f_z | ≠0
| g_y g_z |
試證:存在x_0的鄰域I_δ(x_0)以及y=y(x),z=z(x)在I_δ(x_0)上滿足f(x,y(x),z(x))=0,
g(x,y(x),z(x))=0,且y,z屬於C^1(I_δ(x_0))。
5.
K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上的連續函數, |K(x,y)|< 1 ,for all (x,y)
φ(x) 屬於 C[0,1] , 試証: 存在唯一 f 屬於 C[0,1] ,
1
滿足 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy
0
6.試找一保積寫像T:A→B其中A={(x,y)|x^2+y^2<1}, B=(0,√π)╳(0,√π)
7.φ(x)是週期為1的連續函數，其在[0,1]上的行為如右圖，
(圖為一個二維的座標平面，畫出φ(x)在[0,1]的行為，
因為BBS無法畫所以我直接把函數寫出來。)
φ(x) = { 2x if x 屬於[0,1/2]
{ 2-2x if x 屬於(1/2,1]
令f_n(x)=φ(nx),n = 1,2,3,...問:
(a)f_n是否conv. weakly in L^2[0,1]？若是，收斂到何函數？
(b)f_n在[0,1]上是否均勻收斂
(c)f_n是否conv. strongly in L^2[0,1]？
(d)f_n在[0,1]上是否逐點收斂?
(e)f_n在[0,1]上是否有逐點收斂的子序列?
8.f(x,t) 屬於C^1。當t=t_0時，f(x,t_0)在x_0點取local max。
問:當t微小變動時，f是否恆在x_0附近取local max?
若答案為否定，請舉例說明之。
你能對f給予適當地條件，以確保存在δ>0，使f(x,t)在x_0附近x(t)點取local max?
(且x(t)在(t_0-δ,t_0+δ)上連續)若要求x(t)屬於C^1(t_0-δ,t_0+δ)，條件又如何?
9.
(a)
∞
求 ∫ sin(x)/x dx 之值。(不限方法，所依據之定理需交待清楚。)
0
(b)於上題中，令x = 2t 作分部積分，據此求
∞
∫ [sin^2(x)]/x^2 dx 之值。
0
10.
sinyx ∞
f(x,y)=