課程名稱︰高等微積分二
課程性質︰數學系必修課
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014/05/10
考試時限（分鐘）：9:10~12:00
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
2 2 2
x y z
1.(10分)橢球E：— + — + — ≦ 1 ，被一組平行平面 L_t 所截，令A_t=E∩L_t，
2 2 2
a b c
P_t為A_t的重心。試證：P_t共線 ∀t。
2 2
x t
— -—
2 ∞ 2
2.(10分)f(x)= e ∫ e dt, x≧0 。試證：f↓0 strictly on [0,∞)。
x
︴1 x屬於A
3.(10分) A包含於[0,1]，χ(x)= ︴ , 稱為A的特徵函數(characteristic
︴0 x不屬於A
1
function)。若χ在[0,1]上Riemann可積，且∫χ(x) dx > 0。試證：存在open
A 0 A
interval I 使A包含I。
b
4.(10分) f在[a,b]上Riemann可積分，試求 lim ∫ f(x)|sin(nx)| dx 之值。
n→∞ a
α
︴x sin(1/x) x≠0
5.(10分) f(x)=︴ ，試決定α之值使f屬於BV[0,1]。
︴0 x＝0
2 2
2 2 xy(x + y )
6.(10分) Ω={(x,y)|1≦x - y ≦2, 1≦xy≦2}，求∫∫—————— dxdy之值。
Ω 2 2
x - y
n
7.(12分) (a) Ω包含於R 為compact and connected，f為Ω上的實連續函數，g在Ω上
可積分且g(x)≧0 ∀x∈Ω。試證：存在x_0屬於Ω使∫ f(x)g(x)dx
Ω
n
=f(x_0)∫g(x)dx。(∫ ...dx表R 上的積分)
Ω Ω
(b) 若connected這條件拿掉，上述結論還成立嗎？
(c) 若compact這條件拿掉，上述結論還成立嗎？
2 2 2
8.(10分) S表下半雙曲面x + y - z = 1, z≦0，K表其上高斯曲率，求∫∫KdS。
S
9.(14分) (a) 數列S={x_1, x_2, x_3, ...}包含於[0,1]，我們稱S在[0,1]上均勻分布若
#A_n
對任意[a,b]包含於[0,1]。令A_n={x_i|x_i屬於[a,b], i=1,2,...,n}，則 lim ——
n→∞ n
= b－a，其中#A_n表A_n的基數。試證：S在[0,1]上均勻分布 if and only if
f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) 1
lim ————————————— =∫f(x)dx，對一切Riemann可積函數f成立。
n→∞ n 0
S (a,b) 2 2
n b - a
(b) 承上，令S (a,b)= Σ x_i ，試證： lim ———— = ————。
n x_i∈A_n n→∞ n 2
∞ sin(x+(1/x)) ∞ sinx
10.(12分) 試判斷∫ ———————dx的歛散(你可把∫ ———dx收斂當作已知)。
1 x 1 x