課程名稱︰線性代數
課程性質︰必修
課程教師：顏文明
開課學院：電資學院
開課系所︰資工系
考試日期（年月日）︰
考試時限（分鐘）：
試題 :
100-1 線性代數期末考(顏文明)
╭ |2x+y-z| + |x-y+z| + |2x-y| │ ╮
1. 求 max < ────────────── │x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 >
╰ |x| + |x+y| + |x+y+z| │ ╯
2. A ∈ R^(3×3), A 的 eigen value 為 5, 4, 1，求 trace(adj(A))
3. V_1, V_2 為 V 的向量子空間，試證明 V_1 ∩ V_2 也是 V 的向量子空間
╭ max(|x+y-z|, |2x-y|, |y+2z|) │ ╮
4. 求 max < ───────────────│x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 >
╰ max(|x+y|, |y+z|, |z+x|) │ ╯
┌ -3 0 0 0 ┐
5. A ∈ R^(4×4), A = Q│ 0 2 0 0 │(Q^T), Q 為一正交方陣, 請求出 A 的
│ 0 0 5 0 │
└ 0 0 0 -7 ┘
Singular Value Decomposition.
╭ x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz │ ╮
6. 求 min < ───────────── │x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 >
╰ x^2 + y^2 + z^2 │ ╯
7. A ∈ R^(7×9), rank(A) = 5, 求 dim(Null(A)), rank(A^T), rank((A^T)A),
rank(A(A^T)), dim(Col(A)).
┌ 3 2 2 ┐
8. A = │ 2 3 2 │, 請對 A 做對角化，使得存在 P ∈ R^(3×3),
└ 1 1 2 ┘
┌ λ_1 0 0 ┐
(P^(-1))AP = │ 0 λ_2 0 │, λ_1 ≧ λ_2 ≧ λ_3.
└ 0 0 λ_3 ┘
┌ 1 2 -2 ┐
9. B = │ 2 -2 3 │, 請問 B 是否可以對角化?
└ 2 2 -1 ┘
如果可以請對它對角化，如果不行請說明原因。
10. 請找出 3×3 的正整數矩陣 A 使得 A^(-1) 為整數矩陣，並請求出 A^(-1)。