課程名稱︰邏輯
課程性質︰通識A4
課程教師︰傅皓政
開課學院：不限
開課系所︰不限
考試日期（年月日）︰2019/1/7
考試時限（分鐘）：100
是否需發放獎勵金：是
試題 :
一、建構初階邏輯語言(提示：包括符號與形構規則兩個部分)。(10%)
(Construct a suitable language for first-order (or predicate) logic.
Hint: two parts should be involved, alphabets and formation rules)
二、請以范恩圖解的方法證明下列三段論的論證是否為有效論證，如為無效論證請寫出
具有說服力的反例。(15%)
(Please prove whether the following syllogism is valid or not by Venn
diagram and specify a persuasive counterexample if it is invalid.)
(a) S A M
M E P
－－－－－－
S E P
(b) S O M
P E M
－－－－－－
S O P
(c) S E M
M I P
－－－－－－
S O P
三、請將下列日常語言的語句翻譯為初階邏輯語言的表達式。(15%)
(Please translate the following sentences into first-order language
expressions.)
Bx：x是大學生； Axy：x羨慕y
(a) 每個大學生都會羨慕某些大學生。
(b) 不是每個大學生都會羨慕每個大學生。
(c) 沒有大學生羨慕任何一個大學生。
四、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。
(20%) (Please use tableaux system to prove whether each of the following
argument is valid and to specify a counterexample if it is invalid.)
(a) (∀x)(FxＶGx), (∀x)(Gx→Hx) ├ (∀x)FxＶ(∀x)Hx
(b) (∀x)(∃y)(FyΛLxy), (∀x)(∀y)(Lxy→Mxy) ├ (∀x)(∃y)(FxΛMxy)
五、請以實例說明下列謬誤，並說明推理過程。(10%)
(Please exemplify the following fallacies and explain the process of
reasoning.)
(a) 訴諸憐憫的謬誤(Argument from pity)
(b) 二分法的謬誤(False Dichotomy Fallacy)
六、請完成下列演算，作答需連同題目寫在答案卷上。(30%)
(Please complete the following proofs. Notice: you should copy the whole
questions on your answer sheet.)
(a) ├(MΛN)→﹁(M→﹁N)
MΛN
－－－
　MΛN　　　　　　　Ｍ 　　M→﹁N
　　　 　－－－　　 　　－－－－－－－－－－
　　　 　　Ｎ ﹁N
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
⊥
　 －－－－－－
﹁(M→﹁N)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(MΛN)→﹁(M→﹁N)
(b) ├(A→B)→(﹁AＶB)
A A→B
－－－－－－
﹁A B
－－－－－ －－－－
﹁AＶB ﹁(﹁AＶB) ﹁AＶB ﹁(﹁AＶB)
－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－
⊥ ⊥
－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－
A ﹁A
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
⊥
－－－－－
﹁AＶB
－－－－－－－－
(A→B)→(﹁AＶB)
(c) (∀x)﹁(GxΛHx), (∀x)﹁(KxΛLx), (∀x)(GxＶKx) ├ ﹁(∀x)(HxΛLx)
　　　　 1. (∀x)﹁(GxΛHx) ___Pr___
2. (∀x)﹁(KxΛLx) ___Pr___
3. (∀x)(GxＶKx) ___Pr___
4. GaＶKa ________
5. ﹁(GaΛHa) ________
6. ﹁(KaΛLa) ________
7. ﹁GaＶ﹁Ha ________
8. ﹁KaＶ﹁La ________
9. Ka→﹁La ________
10. ﹁﹁GaＶKa ________
11. ﹁Ga→Ka ________
12. ﹁Ga→﹁La ________
13. ﹁HaＶ﹁Ga ________
14. Ha→﹁Ga ________
15. Ha→﹁La ________
16. ﹁HaＶ﹁La ________
17. ﹁(HaΛLa) ________
18. (∃x)﹁(HxΛLx) ________
19. ﹁(∀x)(HxΛLx) ________
Appendix: Rules of inference
1. 樹狀自然演繹法推論規則 (rules of inferences:tree-likely natural deduction)
φ Ψ 　 (φΛΨ) (φΛΨ)
－－－－(ΛI) －－－－(ΛE) －－－－(ΛE)
(φΛΨ) φ Ψ
φ(劃掉)
:
Ψ φ (φ→Ψ)
－－－－(→I) －－－－－－－(→E)
(φ→Ψ) Ψ
(φ→Ψ) (Ψ→φ) (φ↔Ψ) (φ↔Ψ)
－－－－－－－－－(↔I) －－－－－(↔) －－－－－(↔E)
(φ↔Ψ) (φ→Ψ) (Ψ→φ)
φ(劃掉) ﹁φ(劃掉)
: :
φ ﹁φ ⊥ ⊥
－－－－－(﹁E) －－－－－(﹁I) －－－－－(RAA)
⊥ ﹁φ φ
φ Ψ
: :
φ Ψ (φＶΨ) X X
－－－－－(ＶI) －－－－－ (ＶI) －－－－－－－－ (ＶE)
(φＶΨ) (φＶΨ) X
2.線性自然演繹法推論規則 (rules of inferences: linearly natural deduction)
(i)等值規則
(1)笛摩根定律 (DeM): ﹁(pΛq)↔(﹁pＶ﹁q); ﹁(pＶq)→(﹁pΛ﹁q)
(2)交換律 (Comm) : (pＶq)↔(qＶp); (pΛq)↔(qΛp)
(3)結合律 (Assoc) : (pＶ(qＶr))↔((pＶq)Ｖr); (pΛ(qΛr)↔((pΛq)Λr)
(4)分配律 (Dist) : (pΛ(qＶr))↔((pΛq)Ｖ(pΛr)); (pＶ(qΛr))↔((pＶq)Λ(pＶr))
(5)雙重否定律 (DN): p↔﹁﹁p
(6)異質位換律 (Contra): (p→q)↔(﹁q→﹁p)
(7)蘊含律 (Impl) : (p→q)↔(﹁pＶq)
(8)等值律 (Equiv) : (p↔q)↔((p→q)Λ(q→p));
(p↔q)↔((pΛq)Λ(﹁pΛ﹁q)
(9)移出律 (Exp) : ((pΛq)→r)↔(p→(q→r))
(10)重言律 (Taut) : p↔pＶp; p↔pΛp
(ii)蘊涵規則
(1)肯定前項律 (MP): p→q, p├ q
(2)否定後項律 (MT): p→q, ﹁q├ ﹁p
(3)假言三段論 (HS): p→q, q→r├ p→r
(4)選言三段論 (DS): pＶq, ﹁p├ q; pＶq, ﹁q├ p
(5)簡化律 (Simp) : pΛq├ p; pΛq├ q
(6)添加律 (Add) : p├ pＶq
(7)連言律 (Conj) : p,q├ pΛq
(8)建構兩難律 (CD): (p→q)Λ(r→s), pＶr├ qＶs; p→q,r→s,pＶr├ qＶs