這篇文章的目的是探討簽了國民黨的公投連署書會有什麼風險，以及死亡人數的合理性。
這裡用曾銘宗的『火力發電每 5 年減 5%』當作例子。這個案子在第一階段時共交出 4294
份連署書，其中 83 個連署人在提案前死亡，提案前死亡率 1.93%。
一個人的死亡風險可以量化為下一秒鐘死亡的機率(簡稱瞬時死亡率)。瞬時死亡率的數值
會隨著年齡而增加。我們可以用內政部戶政司 (參考資料1) 的人口統計資料來計算正常人
的瞬時死亡率，並且和國民黨連署人的瞬時死亡率做比較。這篇文章的資料來源是
"02縣市人口數按性別及年齡(8909)" 以及"10縣市死亡人口按五齡組(按發生)(96) "。所
有成年人口按照年齡被分為 20~24, 25~29, ... 95~100, 100+ 等 17 個年齡層。為了簡
化問題，我們假設:
1. 全國屬於同年齡層的人都有相同的瞬時死亡率。
2. 所有人都是在 1/1 出生，因此瞬時死亡率的數值在每年 1/1-12/31 的期間不會發生變
化。
根據 Ross (2003) 第 5 章，餘命 t 的分佈是 (參考資料2):
f(t) = m(t) * exp(-M(t)) (1)
其中 m(t) 描述瞬時死亡率隨時間的變化，M(t) 是 m(t') 從 0 到 t 的積分。假設某一
個人在時間點 s 存活，則他在時間點 t 之前死亡的機率為
P(T < t - s) = exp(-M(s)) - exp(-M(t)) (2)
設時間點 s 有 n 個同年齡的人，其中 k 人在時間點 t 之前死亡，利用 (2) 可以建立
n, k 的 log likelihood function:
L1(p) = (n - k) * log(1 - exp(-M(s)) - exp(-M(t)))
+ k * log(exp(-M(s)) - exp(-M(t))) (3)
其中 p 是瞬時死亡率。M(t) 隨時間變化會使得計算困難。為了簡化計算，我們只用 2017
年的統計資料來計算正常人的瞬時死亡率。由於沒有跨越 12/31，所有人的瞬時死亡率都
不會改變，所以 (3) 可以簡化為
L1(p) = -(n - k) * p * (t - s) + k * log(1 - exp(-p * (t - s))) (4)
最佳化 L1 可以算出某一個年齡層的瞬時死亡率。然而國民黨的連署資料裡面沒有包括連
署人的年齡層，所以我們沒辦法用 (4) 來估計連署人的 p。為了簡化問題，我們假設:
3. 連署人死後立即復活。
4. 連署人是從全國成年人口中隨機選取。
5. 所有連署都在連署期間第一秒完成。
如此一來 n 個人裡面有 k 個死亡的機率變成 Poisson distribution:
L2(p'|n, k) = P(k) = exp(-n * p' * (t - s)) * (n * p' * (t - s))^k / k!
其中 p' 是多個年齡層的平均瞬時死亡率。假設 3 使得任何時間點有可能死亡的人數增
加，假設 5 讓連署人有較多死亡時間，因此兩條假設都會造成低估瞬時死亡率的效果。
L1(p) 的最大值發生在 p=-log( (n - k) / n) / (t - s)，而 L2(p') 的最大值發生在
p'=k / (n * (t - s))。2017 年有 365 天，相當於 31536000 秒。令 s=0,t=31536000
並且將內政部的統計資料代入 n, k，可以算出個別年齡層的正常人的瞬時死亡率:
age| 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 50~54