一﹐
這道題可以利用解析幾何來進行計算﹐
優點是無須動腦﹐思路非常簡單﹐水到渠成。
缺點是計算量可能較大﹐且需要三角恆等變換等高中知識。
思路﹕1建系﹐2寫出點坐標﹐3求直線方程﹐4求直線交點D和E坐標﹐
5﹐求過點D和E的直線DE方程﹐6根據DE的斜率解出角EDC的值﹐7計算角ADE的值
1﹐在平面上建立直角坐標系﹐可以考慮以BC為X軸正方向﹐垂直於BC且過B的射線為Y軸。
因為本題是角度問題﹐與三角形邊長無關﹐所以不妨令BC長度為a﹐或者1﹐或者2也可以
2﹐將A,B,C的坐標表示出來。
B(0,0) C(2,0) A(1,[3^(1/2)]/3)
其中A的縱坐標是3分之根號3﹐在ptt上表述比較困難﹐所以寫成了指數形式。
其實寫成三角函數形式更好。
利用等腰三角形三線合一求出A的橫坐標是1﹐
然後根據30度﹐60度﹐90度的三角形三邊比例關系為1:根號3:2﹐得出A的縱坐標。
3﹐將直線BE,AC,AD,BC的解析式表示出來。
這些直線的解析式都屬於直線方程﹐非常容易表達。
已知A點和C點坐標﹐可直接用兩點式寫出AC方程
BC在X軸上﹐直接寫出BC方程為﹕y=0
BE正方向與X軸正方向的夾角為10度﹐且過原點﹐因此BE是正比例函數﹐
直接寫出BE方程為﹕y=tan(10°)*x
AD過A點﹐且AD正方向與X軸正方向的夾角為290度﹐因此直接用點斜式寫出直線AD方程
4﹐E是直線BE和AC的交點﹐D是直線AD和BC的交點
已知兩個直線方程﹐求其交點﹐用聯立求解﹐這一過程非常簡單﹐
直接用聯立求解解出 D 和 E 坐標即可。
5﹐已知直線DE上兩點D和E的坐標﹐求直線方程﹐
可以直接用兩點式寫出﹐也可以用待定系數法得出。
不過本題隻需要知道DE的斜率即可﹐所以直接根據點的坐標寫出直線斜率
k=(Yd-Ye)/(Xd-Xe)
6﹐處理k﹐k是一個帶有三角函數的分式﹐我們可以利用三角函數恆等變換對其進行化簡
也可以利用反三角函數直接對其進行求值﹐最後算出來k=tan40°
因此角EDC為40度
7所以角ADE為70度
二﹐純幾何方法
用純幾何方法的難度在於觀察或者求特殊情況﹐
如果不能觀察出特殊情形﹐做出輔助線﹐那就很難入手
優點在於一旦探討出解題思路﹐那過程將會非常簡單
而且本題隻需要國中知識即可解出
本題的核心在於觀察出三角形ABD的中垂線交點﹕外心O﹐在直線BE上
一旦証明了這一點﹐即可輕鬆推算出大部分角度
那麼解題過程如下
做輔助線﹕在BE上找一點O﹐使得角BAO=20度
這一步實質上是畫出了外心0點﹐接下來你隻需要証明你畫出來的這個O是外心。
因為 角BAO=角ABE=20度﹐所以BO=AO﹐且角BOA=140度。
因為 角BOA=140度﹐角BDA=70度﹐根據等弧對應的圓周角是圓心角的一半﹐
得出 O實質上是三角形ABD的外心 的結論
故而 AO=BO=DO
在三角形AOD中﹐AO=DO﹐又角OAD=60度﹐根據一個角為60度的等腰三角形是等邊三角形
得出 AD=AO
又 角AOE=角AEO=40度 故 AE=AO
所以 AE=AD
三角形AED是等腰三角形﹐其頂角為40度﹐
故其底角ADE=(180-40)/2=70度
※ 引述《b339961 (水雲渺)》之銘言：
: http://i.imgur.com/blGqOpr.jpg
: 想請教一下這題數學的解，一群人想了2個多小時...離開學校太久了
: 希望能知道如何解還有原理
: 萬分感謝...