※ 引述《Kulapica (酷拉皮卡)》之銘言：
: 如果是大學或數學科系那就算了
: 國小、國中、高中教師教這個表示那位教師...心態有問題
: 高中以下的數學了不起到幾何、三維空間、很基礎的線性代數就結束了
: 談不上太深的數論 要用在幾何的話用向量加法證就得了
: 向x軸1個單位的向量為1 再往x軸加上1個單位的向量 根據向量加法結果為2單位的向量
: 國中也能證
: 線性空間的話用加法單位元 1+1 = 2 => 1+1-2 = 2-2 = (加法反元素)0
: => (1+1) - 2 = 0 => (加法反元素唯一性) 所以1+1為2
: 至於用到Peano太超過了 教一個高中以下的學生好幾年內用不到的東西 很快就會忘掉
: 在教育上是講不通的 回去重讀或重修教育學程
: 嗶☆咔
等一下，只不過是把大家都知道的事情用邏輯式寫一次，
這樣並不是用不到或是太超過。
一件簡單的事情並不會因為用中文或是義大利文寫而變得困難或簡單，
充其量只是接收的人沒有掌握該語言，或者是傳達的人沒有考量這點而已。
該事情的概念本身是不變的。
所以無論用中文也好、義大利文也好、數學描述也好、形式邏輯也好，
都只是不同的表達方式而已。
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既然大家都喜歡小學生，呃不，是喜歡說小學生，那我們就從小學生開始吧。
也不，我們從學齡前幼童開始。
首先，我們得先教會小朋友數數。
數數要有一個開頭，這裡我們選擇從0開始……
呃，從1開始也可以，這個和文化信仰有關係。目前學術也有不同的觀點。
一般來說，傳統基督教文明不太接受0這件事。
不過現例是從什麼開始其實無所謂，我們這裡就從1開始吧。
（皮亞諾公理Ⅰ：1 ∈ N）
從1開始，通常我們會用死背的方式，搭配上手指頭的數目，讓小朋友記住數字的「順序」
這個時候，還會導入阿拉伯數字的符號。我們會教 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
但是還不會教導阿拉伯數字符號的十進位規則。所以目前沒有「位數」或是「進位」
不過數到哪裡無所謂，不影響數字。
目前主要是強迫他們記住1的後面是2，2的後面是3。而這些包含1都叫做數字。
（皮亞諾公理Ⅱ：∀a ∈ N [a' ∈ N])
而且我們還會強調的是，當你從1開始數，數到後來就不會再出現1了。只會是23456789
（皮亞諾公理Ⅲ：∀a ∈ N [a' ≠ 1]）
並且2的後面只有可能是3，不可能是1。3的後面也不會出現2
無論下一個數也好，下下一個數也好，3的後面永遠不會有2或1或是他自己
（換句話說，當你知道某一個數的下一個是2，
另一個數下一個也是2的時候，這代表這兩個數一致。
或者你「目前」也可以說…123456789這個順序是絕對的
至少我小時候是硬背下來的）
現在對小朋友來說，數字的世界停留在十根手指頭。
（皮亞諾公理Ⅳ：∀a ∈ N,∀b ∈ N [a' = b' → a = b]）
到這裡，我們教會了小朋友數數的概念，他會從1開始配合手指頭數到10
這樣就可以開始導入加法了。
皮亞諾公理的第五條是數學歸納法的定義，
目前只能數到10的小朋友只要知道這10個數字都能夠適用接下來你教給他的東西就好了，
這裡他不需要學到數學歸納法，以及無限，還有自然數這個集合的性質。
所以我們跳過。
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在初步教導加法運算的時候，會強迫小朋友背以下這個符號形式，也就是填數字的遊戲
「a + b = □」
這裡目前好像有兩種大宗的方式，一種是直接把這個形式背下來
另一種是在這裡導入符號的概念，也就是先教導「=」，
再教導「a + b」其實可以表示成一個數字
我小時候應該是先背下來的。就當成填數字的遊戲玩一樣。
好吧，那加法會怎麼描述呢？
基本上就是先請他比出加號左邊的數字，例如1根手指頭
再比出加號右邊的數字，例如2根手指頭。
接下來請他數一次全部的手指頭是多少，然後把答案寫在等號右邊。
所以小朋友會開始練習個位數的加法，而且加數和被加數都是在5以內。
以上是比較簡潔的說法，而且先預設小朋友數數已數得很好了。
不過要導入加法公理邏輯式的結構其實是可以，這個取決於教學者的耐心，
常常是叫小朋友多練習數數比較多啦，也比較快。
那如果有人問說，為什麼數數就能得到答案呢？也是可以慢慢解釋的。
首先教導任何數字只要加1上去，就會成為他的下一個數
就像是2的下一個數是3，所以2 + 1可以寫成3，1 + 1可以寫成2
（加法公理Ⅰ：∀a ∈ N , a + 1 = a'）
再來，無論數字是多少，其實他都是加了好多次的1這樣。
例如2 + 3，其實是(1 + 1) + (2 + 1) = (1 + 1) + ((1 + 1) + 1))
也就是1 + 1 + 1 + 1 + 1。那數5次就是5
（加法公理Ⅱ：∀a ∈ N, ∀b ∈ N , a + b' = (a + b)'）
所以為什麼把左手和右手的手指頭一起「數」一次會等於等號右邊的答案？
因為+1這個動作其實就是數下一個自然數。
（在目前為止，我們的世界只有1至10）
然後自然數可以分解成好多個+1，所以能夠用數的得出答案。
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以上就是明明可以用七條（或者是六條）式子寫完，
卻偏偏要寫得超複雜的皮亞諾公理和加法公理。（再加上我小時候的學習歷程）
事實上，這些東西我相信所有在鍵盤前能活用加法的人都瞭若指掌了
因為我們從小就要學會「數數的規則」，
數數中就已經把後繼數及不可重覆這些概念都熟悉了。
所以皮亞諾公理也好，加法公理也好。
大家都是很熟悉的。絕對不是什麼用不到或者是太超過的東西。
只是邏輯式對大家來說不太熟，就像是聽別人用外國語言講一個老笑話一樣。
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所以 1 + 1 = 2，他的證明方法有無限多種，基本上就是看你導入多少公設作前提。
反正我們高中的時候有學會只要等號兩邊相等就好嘛XD。
如果要導入比較少的公理，就先導入皮亞諾公理及加法公理還有阿拉伯數字十進制系統。
然後「依加法公理Ⅰ及皮亞諾公理Ⅰ，1屬於N，1 + 1 = 1'。1' 表記為2。」