今天讀高等微積分
看到這個定理覺得好爽喔
若有界閉集合F被一組無數多個圓所覆蓋時，則F亦被其中某有限多個圓所覆蓋。
這個定理呢
我們要怎麼證明才好呢
首先假設定理不為真
則任取一個正方形Q包含F
再將Q四等分為小正方形時
得知此小正方形中至少對某一個屬於F的部分集合不為真
設此部分閉集為F_1
而包含此集合之小正方形為Q_1
繼續如此操作
可得一組無限序列之閉集合 F, F1, F2, ... 後者包含於前者中
且隨著小正方形而無限的縮小
因此必共有F中之一點P_0
而P_0屬於F表示P_0必包含於所在圓中之某一圓的內部
故當n足夠大時
F_n隨著包含它之小正方形Q_n而使全部均落在此圓內
此結果與F_n有關之假設
即對F_n而言 定理不為真互相矛盾
故定理為真
我們可以注意到
在這個證明中
最重要的是F為閉集合的假設
不然的話
我們無法導出P_0為屬於F的點
而且F的各個點一定要包於圓之內部
因為P_0如果是落在圓周上的話
不管n再怎麼大 Q_n和F_n都未必會全落於圓內
這樣定理的證明就缺乏一股約束力了
這個定理證明的巧思非常厲害
真是令我驚爽