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消失的23年－從星際效應看等效原理
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星際效應（Interstellar；2014）是諾蘭繼黑暗騎士（The Dark
Knight；2008）、全面啟動（Inception；2010） 、超人：鋼鐵英雄
（Man of Steel；2013）等膾炙人口的作品之後所執導的最新年度鉅
作。
【星際效應電影海報】
克里斯多夫諾蘭（Christopher Nolan） 電影最為人稱道的地方
，就是故事架構龐大複雜，表現強烈的思考性邏輯卻又能引人入勝。
「星際效應」不僅融合多元科幻元素，更嘗試把相對論、黑洞、時空
旅行等艱難深奧的物理學理論加以連結，以電影藝術的方式普羅具像
化呈現大眾面前，格局大膽而創新，令人印象深刻。
【Christopher Nolan】
為了考究電影科學，諾蘭特別邀請了物理學家基普索恩（Kip
Thorne）擔任劇本顧問。索恩是當今世界上天文物理學領域的領導者
，他以黑洞、重力波、蟲洞和時間旅行的理論研究為基礎，讓星際效
應的劇情增添不少科學根據，把科幻電影帶入了更高層次的嶄新境界
。
【Kip Thorne】
星際效應以愛因斯坦「廣義相對論」為科學基礎，電影中的劇情
才能合理建立，不論蟲洞、黑洞、五次元（5-Dimension） 的研究皆
由廣義相對論衍生，具有嚴謹的物理學理論。其中最具代表性的廣義
相對論現象，我想就是那「消失的23年」。
永續號任務來到一顆環繞「巨人」黑洞的Ａ星球，因為重力場非
常強大，Ａ星球時間過的極度緩慢。馬修麥康納（Matthew McConaughey）
飾演、一心想要趕回家看女兒的庫柏心急如焚，想要盡量縮短探索Ａ
星球的時間，卻被滔天巨浪打得東倒西歪，不但損失一位同伴，還被
迫待上兩個多小時。然而這一耽擱不得了，他們回到太空船上已經過
去23年。
【星際效應劇照：Anne Hathaway與Matthew McConaughey】
庫柏看著從地球傳來的訊息，發現老父走了、兒子娶妻生子、女
兒雖然成長卻對父親失望……對庫柏來說，原本可以通訊聯繫家人的
23年光陰平白無故消失了，他等於在「家人的時間」中消失23年，這
如何不讓極度恐慌的庫柏充滿了悔恨及悲痛呢？若時間再這樣「浪費
」，趕回地球與家人相聚的機會渺茫。
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廣義相對論的基礎：等效原理
「消失的23年」是如此巨大，導致庫柏如此悲傷，馬修麥康納的
演技令人動容。其實這23年並非真的消失了，而是時間維度被強大的
重力場壓縮放大，因此，庫柏和布蘭達雖然只用了幾小時探索Ａ星球
，繞行黑洞的羅米利其實已經等了23年，而地球上家人的時間也過去
了23年之久，其背後的物理即為「重力時間延遲」，簡單來說：重力
場越強的地方，時間就會過的越慢。
狹義相對論中，彼此有相對速度的慣性座標系互相比較，可發現
時間延遲的現象很普遍（參閱誰來對我高談闊論「狹義相對論」、「
勞倫茲變換」），而愛因斯坦的廣義相對論則繼續探討「重力」對時
空的影響。
【Albert Einstein】
等效原理（Equivalence Principle） 是廣義相對論的基礎理論
，由愛因斯坦分別在西元1911年的論文《關於引力對光傳播的影響》
及1916年《廣義相對論的基礎》所提出。
愛因斯坦的「思想實驗」：想像在遙遠宇宙中有一艘太空船，太
空船裡的太空人拿起一個鉛球，太空人不僅發現鉛球有重量，也感覺
到自己有重量。這有兩種可能性，一是太空船正在加速前進，就像搭
乘電梯往上升時，會感覺到有一股力量把我們往下拉，此即為加速度
的「慣性力」；另一可能性則為太空船正停在一顆星球上，該星球的
重力場造成了鉛球及太空人感覺到重量，此即為「重力」。
【等效原理的思想實驗】
這個思想實驗說明，太空船裡的太空人無法分辨到底是「慣性力
」還是「重力」造成了重量感覺，兩者互為「等效」現象；重力場中
的靜止座標系可「等效於」加速中的慣性座標系。等效原理的發現，
讓人類首度意識並探討「慣性力」與「重力」的本質，如同愛因斯坦
曾說：「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更
深入了解慣性和引力的鑰匙。」
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庫柏的1小時＝家人的7年
【星際效應劇照：Ａ星球上的悲劇】
電影中，庫柏討論到Ａ星球的時間延遲現象，他們發現黑洞重力
場之強大讓時間極度延遲，在Ａ星球上的時間每過 1小時等於地球上
流逝 7年！「時間」成為必須考量的「消耗資源」，庫柏於是要求盡
快完成登陸探索任務，以爭取日後與家人重逢的機會，沒想到卻發生
意外，消耗那充滿悔恨與悲痛的23年時光……依據等效原理，我們可
以讓重力「等效」慣性力，推導並證明「重力場越強的地方，時間就
會過的越慢。」
【星際效應的等效原理】
假設Ａ星球與黑洞的距離為Ｒ並受到重力場ｇ，而庫柏的太空船
與Ａ星球距離為ｈ且幾乎不受黑洞的重力場影響（時間流逝的速度跟
地球一樣）。依等效原理，我們可以把Ａ星球視為正在加速遠離黑洞
，造成等效黑洞重力場的「慣性加速度」。當Ａ星球加速遠離，距離
黑洞剛好為Ｒ的瞬間，遠離速度為ｕ，此時Ａ星球往太空船發出光波
，庫柏可觀察到光波的都卜勒效應：
λ船＝（c－u）Ｔ船
其中，λ船、Ｔ船為庫柏觀察到的波長與時間，ｃ為光速。考慮
相對速度的時間延遲：
Ｔ船＝ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)
其中，ＴＡ為Ａ星球上的時間。於是庫柏觀察到的都卜勒效應變
成：
λ船＝（c－u）ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)
且ＴＡ＝λＡ／c：
λ船＝c(1－(u/c)) λＡ／c (1－(u^2/c^2))^(-1/2)
＝λＡ（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）
又λ＝c／f，ｆ為頻率：
ｆＡ＝ｆ船（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）
＝ｆ船／(1－(u^2/c^2))^(1/2) (1＋(u/c))
因為遠離瞬間ｕ遠小於ｃ，所以(u^2/c^2)→0，
(1－(u^2/c^2))^(1/2)→1：
ｆＡ＝ｆ船(1＋(u/c))
頻率為時間的倒數：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(u/c))
所以我們可以得到太空船與Ａ星球的時間轉換式，其中速度ｕ是
「等效」慣性座標系的假想物理量，我們必須轉換成重力場中的某個
等效物理量。考慮速度與加速度的關係：
u＝at
Ａ星球受到黑洞重力加速度即為a＝g，而光波傳送的時間t＝h／c
，所以速度ｕ可等效轉換為：
u→gh／c
於是太空船與Ａ星球的時間轉換式變成：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(gh/c^2))
Ａ星球受到黑洞重力場為：
g＝GM／R^2
其中Ｇ為重力常數、Ｍ為黑洞質量，得到：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(GMh/c^2 R^2))
於是我們可利用等效原理，簡單證明Ａ星球上流逝的時間被延遲
了，比太空船上的時間還要慢；重力場越強的地方（Ａ星球），時間
就會過的越慢。帶入電影中的設定，太空船與Ａ星球的時間轉換式即
為：
7年＝1小時×(1＋(GMh/c^2 R^2))
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黑洞質量有多大？
【星際效應劇照：巨人黑洞】
由太空船與Ａ星球的時間轉換式，我們可以概略評估電影中這顆
「巨人」黑洞的質量到底有多大？代入重力常數Ｇ＝6.67×10^(-11)
m3/kg s2與光速ｃ＝3×10^8 m/s ：
2.21×10^8＝3.6×10^3 ×（1＋6.67×10^(-11)/(3×10^8)^2 Mh/R^2）
→ 2.21×10^8～2.67×10^(-24) Mh/R^2
雖然Ｒ和ｈ仍為未知，但觀察上式並比較太陽質量（約為2×10^30
kg）仍可感覺黑洞質量Ｍ的巨大程度。目前人類所發現的最大黑洞位
於距離地球13億光年外的Apr147星系之中，質量約為太陽的 400億倍
！假設Ａ星球所繞行的「巨人」黑洞為此質量，那麼太空船不受黑洞
重力場影響（假設至少跟地球一樣g＝9.8）的距離為（Ｒ＋ｈ）：
9.8＝G×400×10^8×Ms／(R＋h)^2
→ (R＋h)～7.31×10^14 m
以及：
400×10^8×2×10^30 h／R^2 ～3.31×10^31
→ h／R^2 ～4.14×10^(-10) m^-1
可以求得Ｒ與ｈ的關係：
R～1.33×10^12 m
h～7.32×10^14 m
地球到太陽的距離為 1天文單位（AU），約為一億五千萬公里
（1.5×10^11 m）。比較後可概略評估Ｒ約為10AU，幾乎是太陽到土
星的距離。ｈ則約為5000AU，此為黑洞重力場剛好與地球一樣的距離
，但似乎太遠了……然而，若黑洞質量再小一些，或「時間消耗」能
控制在容忍範圍，庫柏的太空船便可更接近這顆「巨人」，或許就更
符合電影中的實際情況。
【星際效應劇照：Ａ星球上有海洋】
然而，電影中的Ａ星球上有海洋，即存在「液態水」，所以庫柏
一行人遭遇到滔天巨浪。若Ａ星球距離黑洞10AU，則可能會如土星因
為距離太陽太遠而「太冷」，使得液態水無法存在。為了符合電影中
的設定，或許能參照「地球」存在液態水的關鍵：地球與太陽的距離
。
雖然得考量很多因素，但我們可以繼續簡單假設，Ａ星球與「巨
人」黑洞的距離等於地球與太陽的距離，這樣液態水就有存在的可能
。令Ｒ為 1AU（1.5×10^11 m）：
Mh／(1.5×10^11)^2 ～3.31×10^31 kg/m
→ Mh～7.45×10^53 kg.m
得到黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式，然後加入原來「太空船不受黑洞
重力場影響」的設定：
9.8＝G×M／(R＋h)^2＝6.67×10^(-11)×M／(1.5×10^11＋h)^2
～6.67×10^(-11)×M／h^2
上式中，Ｒ遠小於ｈ可忽略。代入黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式可解
方程式：
h～1.72×10^14 m
M～4.33×10^38 kg
以上的估計結果與電影中的實際情況更為貼近：「巨人」黑洞的
質量約為太陽的 2億倍，而太空船與「巨人」的距離也拉近到約1000
AU了！