一開始電影Hardy以回憶錄的方式回憶Ramanujan的確是令人引人入勝的
"在這個世界上,除了Littlewood之外,我對他比任何人要更懷感激,我同他的交往是我生
活中一段浪漫的插曲,那時候我的困難不是我對他的了解不夠,而是了解和感受的太多"
這段話的確在Hardy在哈佛大學演講中的回憶Ramanujan有被提及,但是這是
一個斷章取義的話,Hardy是一個極度誠實理性和客觀的數學家,他對Ramanujan許多種種的
不幸和惋惜感到難過,還有不知道Ramanujan回到印度沒多久會過世的感到不知所措,Hardy
也許認為Ramanujan的數學生涯才剛起步而已
Hardy對Ramanujan的回憶可能是讓他晚年感到痛苦和孤獨的原因,他對一個來自
印度受到不足數學教育的天才命運感到唏噓,他曾寫道
"對於Ramanujan工作的重要性也許有歧異,比如他的工作如何得到何種水平的評價,可能
對未來數學產生什麼影響? 他的工作不具備那些偉大的工作的簡明性和必要性,如果他不
那麼怪的話會更偉大一些
Ramanujan所展示深刻的無與倫比的創造力無人能否認,如果他在青少年時期
就被發現並進行培養,他會成為一個偉大的數學家,他會發現更新的而且無疑是更重要的
東西,另一方面他不再是Ramanujan而是一個歐洲教授,失去的也許比得到的更多...... "
在電影中Ramanujan的質數定理不受那些數學家青睞原因是1909年德國
猶太數學家Landau就給出一個證明,雖然Ramanujan的公式是正確的,但是Hardy認為質數
定理這是解析數論的特殊分支,歷史已十分悠久,沒有給出一個嚴格的證明就無法對其數學
結構和意義有所了解,並引導下一步的研究,這也是為什麼當時劍橋數學家家對Ramanujan
的工作不那麼欣賞,因為做出聰明的猜想相較於證明是容易的多,數論很多規則是清晰易懂
但是難以證明,比如著名的歌德巴赫猜想是普通人也可以猜出來的
電影裡面Littlewood寫給Hardy信件中Ramanujan的質數定理是錯的
Hardy曾評價Ramanujan質數定理失敗的原因
"由於忽視了複變函數理論,Ramanujan的質數理論是有缺陷的,他的方法依賴大規模
應用發散級數,他的證明站不住腳,這本來應該在意料之中,錯誤進一步深入許多事實結果
仍然是錯誤的,他得到經典公式的主要項,但是他們都不是像Ramanujan想像那樣精密的近似
可以說這是他一項大失敗.....
唯一清楚的是Ramanujan的質數定理是他獨自發現的形式,這是值得重視的成就,在
他之前發現這些這個定理的人比如Legendre,Gauss和Dirichlet都是偉大的數學家....."
細究起來,無可避免地,Ramanujan很大一部分工作被認為是超前的,難以想像不利
的條件伴隨著他,一個貧窮孤寂的印度人用他的智能和歐洲積累起來的智慧競爭,他根本
沒有得到真正的教育,在印度那裏沒有人可以讓Ramanujan從他身上學到知識,充其量只能
見到三四本高質量的書,都是英文的,他生命中有段時間可以進入馬德拉斯的圖書館,但是
那不是一個好的圖書館,只能見到幾本法文和德文書,而Ramanujan對這二種語言一竅不通,
我估計Ramanujan在印度最好的工作大約2/3只是發現別人的結果,儘管Watson系統地研究
他的筆記本後發掘了更多的東西
Ramanujan發表的大部分工作是在英國做出的,他的頭腦已經僵化到某種程度,
以至於他無法成為一個正統的數學家,但是他還是學會做了新的工作並且做得相當不錯,
系統教他是不可能了,但是他逐漸吸收了一些新的觀點,特別是他學會了證明的涵義,他後期
的論文雖然在某些方面和以前一樣奇特和特別,但是讀起來已經像是見多識廣數學家作品,
不過他的方法和工具實質保持了原貌,一般人會以為像Ramanujan這樣的形式主義者會對
Cauchy定理著迷,可是他幾乎從未使用他,而且感到對它有絲毫的需要,這是他的數學形式
方面才能的最令人驚奇的證明
事實上Hardy認識Ramanujan的本人時候,他認為Ramanujan沒能在18-25歲接受
一流的數學教育感到惋惜,正如電影所播的,那時候Ramanujan年輕的時候因為沒有大學學歷
所以並沒有固定的工作,以至於他必須為了謀生而失去那段頭腦可塑時期,Hardy認為他已經
受到了損害,天分再也無法受到充分發展的機會
Ramanujan只是念了一本Carr的數學公式手冊,這是一本討論代數,三角和微
積分的手冊,包含6165條定理敘述,這些定理系統十分科學地排列著,附錄的證明通常只是
相互參照著,所有Ramanujan的著名的公式(不含證明)筆記本被誇大了,學習筆記本的學生
都能看出Ramanujan展示的觀點是從Carr那裡複製來的
書中有些章節內容寫的不太相稱,似乎Carr特別喜愛積分的形式理論,
並沒有展示函數論,我十分懷疑Ramanujan到了生命的盡頭是否清楚的理解什麼是解析函數,
更令人吃驚的是Carr本人和Ramanujan後期的工作都沒有發現橢圓函數,不管Ramanujan怎麼
關於這些理論特別的知識,他都不是來自於Carr........如果他接觸當時著名的分析教
科書Whittaker <<現代分析>>和Bromwich的<<無窮級數>>還沒有出現,他的人生會更不一樣,
哈代這樣評論拉馬努金：
“ 他知識上的缺陷和深刻程度同樣令人吃驚,他是能夠發現模方程和定理的人……
到達前所未聞的地步,他對連分數的掌握……超出了世界上任何一個數學家，他自己發現
了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項；但他卻沒有聽說過雙周期函
數或者柯西定理，對複變函數只有最模糊的概念……
那電影Hardy為何提到Euler和Jacobi呢? 主要是代數方面超幾何級數
和連分數的工作顯然Ramanujan在無窮級數和變數變換直覺,這點他的想像力和創造可以
和偉大Euler和Jacobi媲美
連分數的工作依賴Rogers-Ramanujan恆等式,其中Rogers名列在前,但是他在別的
方面超過了Rogers,而且我所引用的定理是Ramanujan自己的,他在別的方面超越了Rogers,
而且我所引用的定理是Ramanujan自己的,他還得出許多相當漂亮的公式,其中像Laguerre
公式是及特殊的例子,Watson最近發表有影響力的證明,Ramanujan也許在這些領域做的最好
我以前寫到最令人驚奇的是他對於代數公式無窮級數變換等的洞察力,這方面我肯定
從未遇過和他旗鼓相當的人,我只能將他與Euler和Jacobi相比
他從數字的例子歸納得出的結果比大多數現代數學家多的多,例如他關於分析同餘
性質都是通過這種方式發現的,但是他將他的計算能力,記憶力和耐心融合成一種概括能力,
一種對形式的感覺和一種迅速修正其猜想的能力,這種通常著實令人驚奇,而且使他在他的
時代,在他自己特殊的領域中,無人與之能匹敵.....
現在我認為這種特別激烈的措辭並非言過其實,公式的偉大時代可能已經結束,
Ramanujan應該在100年前出生,但是他是他的時代最偉大的形式主義者,在過去50年中有
許多比Ramanujan更重要的,我想有人會說更偉大的數學家,然而沒有一個數學家有勇氣在
自己熟悉的領域面對Ramanujan,如果他懂得比賽規則,Ramanuaja可以輕易讓給世界上任何
數學家15分
在分析方面Ramanujan的工作肯定部會給人深刻印象,因為他不懂函數論,離開
函數論就無法從事真正的分析,還有積分的形式部分,所有這些東西他只能從Carr或是其他
的書學到,已經被人反覆和深入細緻地研究過了,然而他仍然重新發現數量驚人的最優美的
解析恆等式,比如Riemann Zeta函數的函數方程,他用一種幾乎認不出來的符號紀錄在筆記
中,還有Poisson求和方程,此外還有Abel函數方程......
Ramanujan早期工作中最能引起人們興趣的最後二個領域,他在橢圓函數和解析
數論方面的工作,第一個(橢圓函數)可能除了專家之外,對其他人來說實在太過專業和複雜
而難以理解,我不打算談,第二個(解析數論)更困難,讀過Landau關於質數和Ingham的小冊子
都會知道,而且每個人都能粗略理解為什麼這些問題擊敗Ramanujan,這是他真正的失敗,他
像平常那樣展開驚人的想像力,但隨後他什麼也沒證明,甚至他的想像是錯的
至於談到宗教信仰
Hardy（無神論者）相信Ramanujan在涉及到形上學的方面基本上是一個不可知論者,
Ramanujan有宗教信仰是儀式的問題而不是理智上的深信,我清楚地記得他告訴我所有的
宗教在他看來或多或少依樣真實.....他只是在執行一種無害而且可能是必要的節約
關於Ramanujan的信仰這個問題本身並不重要,但也並非無關緊要,Ramanujan身上有許多
東西難以理解,我們沒有必要故弄玄虛,就我而言我喜歡他並且尊重他,希望從理性的角度
看他,我想向你們澄清,當Ramanujan健康舒適地在劍橋生活時,除了他的古怪之外,他和這裡
的人一樣,是一個理智和健全的人,而且有他那種方式的敏銳
Hardy並認為
Ramanujan的悲劇不在於英年早逝,而是在那不幸的5年中,他的天賦被引向
歧途並且受到束縛並且受到嚴重的曲解