※ [本文轉錄自 Gossiping 看板 #1cMpd2VM ]
作者: jackliao1990 (j) 看板: Gossiping
標題: [爆掛] 數學家宣稱突破Navier-Stokes方程難題
時間: Sat Jun 1 23:09:50 2024
https://tinyurl.com/yc3xazwz
千禧年時，克雷數學研究所將NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯
存在性與質量間隙、納維爾-斯托克斯方程式、BSD猜想列為七大數學難題並懸賞一百萬美
金作為解題獎金。目前為止只有龐加萊猜想被解開。
納維爾-斯托克斯方程式是法國克勞德- 路易・納維、愛爾蘭的喬治・斯托克斯兩人考慮分
子間作用力後所建立的流體運動基本方程式，它被用來描述像液體和空氣這樣的流體物質
。該方程建立了流體的粒子動量的改變率（力）和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘
滯力（類似於摩擦力）以及引力之間的關係。這些黏滯力產生於分子的相互作用，方程式
描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡。
如果想拿到克雷研究所的獎金，挑戰者必須證明三維不可壓縮納維-斯托克斯方程有解，且
如果有解，則這些解是平滑的。
最近在流體力學領域頂級期刊《Journal of FluidMechanics》上，John W. Sanders的團
隊發表論文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem
》，號稱解出納維爾-斯托克斯方程式難題的規範哈密頓量公式。
該論文提出了基於最小二乘原理推導的最小作用原理的各向同性納維- 斯托克斯問題的新
型哈密爾頓公式。 該公式使用速度ui(xj,t)和壓強p(xj,t) 作為可變化的場量（field
quantities），以及從分析推導出的正則共軛動量。基於此，該研究構造了滿足哈密頓正
則方程的守恆哈密頓函數H*，並針對可壓縮和不可壓縮流制定了相關的哈密頓-雅可比方
程。這個哈密頓-雅可比方程式將尋找四個獨立場量的問題(ui,p)簡化成在這些場中找到單
一標量泛函（scalar functional）－ 哈密頓的主泛函S*[ui,p,t]。此外，哈密頓和雅可
比的變換理論為解決納維-斯托克斯問題提供了一個規定的方法：找到S*。
如果可以獲得S * 的解析表達式，那麼它將透過正規變換得到一組新的場，給出原始速度
和壓力場的解析表達式，這些場將簡單等價於它們的初始值。 如果做不到這一點，只能
證明哈密頓- 雅可比方程式的完全解存在或不存在，那麼也將解決解的存在性問題。
這可能意味著:我們可以繞過標準拉格朗日量的限制，將問題簡化為尋找單一標量函數。
如果納維-斯托克斯有解，許多工程問題像是準確預測天氣、防止飛航紊流、防止航海亂
流、醫療模擬血流、設計火箭發動機等都將解決，人類將實現科技的重要飛耀。