※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言：
: 各位好:
: (1)
: 1
: g(x)= sin──, x≠0
: x
: 0 , x＝0
: 則g(x)在x=0處是否連續?說明之.
: (2)
: 1
: f(x)= xsin── ,x≠0
: x
: 0 ,x＝0
: show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0.
: 剛碰到證明題,不知該如何下手?
: 煩請高手解說.
: 另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦?
: 謝謝.
照著上述大大所提示,我證明的方式如下,煩請指正錯誤
(1)
1
lim sin(──)
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
lim (-1)=-1
-
x→0
lim (1)=1
+
x→0
1
因此lim sin(──)不存在
x→0 x
1
又lim sin(──)≠g(0)
x→0 x
∴故f(x)在x=0處不連續.
1
sin(──)-f(0)
x
f'(x)=lim ───────
x→0 x-0
1
sin(──)
x
=lim ───────
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
1
sin(──)
1 x 1
-── < ────) < ──
x x x
1
lim (-──)=∞
- x
x→0
1
lim (──)=∞
+ x
x→0
∴g(x)在x=0處不可微分.