※ 引述《jay2313015 (阿健)》之銘言：
: 1.年級：國二
: 2.科目：數學
: 3.章節：
: 應該是根號那章
: 4.題目：
: http://i.imgur.com/sOiCA9M.jpg
: 5.想法：
: 我本身是教理化的，剛好學生拿數學來問，我其實試過幾個方法但實在有點搞不定，
: 請大家幫我看看謝謝
: 發文前請把紅色部份文字刪除
令f(n)={n{(n+1){...{(n^2-1){n^2}^(1/2)}^(1/2)}}^(1/2)}^(1/2)
設g(k)=f(n)內部的k個根號={(n^2-k+1){..{n^2}^(1/2)}^(1/2)}^(1/2)
(1) g(k)≧n for all k=1,..,n^2-n+1
g(1)=n
g(2)={(n^2-1)g(1)}^(1/2)≧{n*n}^(1/2)=n
...
g(k)={(n^2-k+1)g(k-1)}^(1/2)≧{n*n}^(1/2)≧n
故由數學歸納法得證
(2) f(n)=g(n^2-n+1)≧n
(3) g(k)<n^2-k+2 for all k=1,..,n^2-n+1
g(1)=n<n^2-1+2
g(2)={(n^2-1)g(1)}^(1/2)<n^2=n^2-2+2
...
g(k)={(n^2-k+1)g(k-1)}^(1/2)<{(n^2-k+1)(n^2-k+3)}^(1/2)
={(n^2-k+2)^2-1}^(1/2)<n^2-k+2
故由數學歸納法得證
(4) f(n)=g(n^2-n+1)<n^2-(n^2-n+1)+2=n+1
(5) 由(2)(4),[f(n)]=n
原題所求為[f(2012)]=2012