[解題] 高二 點到平面的距離

作者: sakuraai (恰比)   2016-03-03 10:52:44
1.年級: 高中二年級下學期
2.科目: 數學
3.章節: 2-1 空間中的平面
4.題目: 板橋高中100年第一次段考題目 填充5
三平面x+2y+3z=1 ,2x+y+3z=1 ,3x-y+2z=1
,若空間中一點P(a, b, c) ,到三平面的距離分別為L, M, N
,試求L^2+M^2+N^2 有最小值時,L:M:N =
答案(L:M:N=5:7:3)
5.想法: 第一個方向直接朝著點到平面的公式去解 但發現會出現a+2b+3c-1的絕對值
題目問了平方是可以成功把絕對值處理掉 但內部不是個好化簡的東西
有嘗試搭配了算幾不等式或柯西不等式找出最小值 但發現還是解不出來
第二個去分析三個平面的關係 計算後應該是兩兩平面交一線
P點應該會落於內部空間的位置 但是仍然算不出來 因此請各位前輩
看能不能解出或者給個方向思考呢 謝謝
作者: diego99 (誰是我的小天使?!)   2016-03-03 10:58:00
利用三角形面積去找限制條件。這題沒意外應該會做的滿辛苦的。喔對,這題或許沒必要使用點到平面的距離公式,看來是故意要誤導學生用的。
作者: sakuraai (恰比)   2016-03-03 11:24:00
結果我也被誤導了QQ
作者: zonw (信)   2016-03-03 11:35:00
平面順序有錯嗎? 我用你的順序+柯西 算出 5:7:3你給的答案是錯的 5:7:3 是對的
作者: sakuraai (恰比)   2016-03-03 13:06:00
剛剛檢查一下發現 我打錯答案了 抱歉感謝大家的分享 我已經成功算出來了 謝謝大家
作者: Xilalala (大摳)   2016-03-03 13:54:00
請問過程怎麼算~~
作者: hrjesus (H R)   2016-03-04 01:33:00
中線定理嗎? 是不是重心呢
作者: sakuraai (恰比)   2016-03-04 11:22:00
我後來是用柯西求出的 中線定理? 這樣要切在同平面嗎
作者: ddxu2 (東東)   2016-03-05 09:51:00
問題最後可以看成是一個三角形中間有一點與三邊距離為L,M,N算出這個三角形的三邊長a,b,c後,(L^2+M^2+N^2)(a^2+b^2+c^2)>=(aL+bM+cN)^2後者是定值。

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