個人覺得這篇文章蠻有意思的，跟大家分享。:)
中西數字的奧妙 ◎尚景賢、劉厚鵬
人一出生，就注定和數字結下不解之緣，生日、身分證字號……數字一直伴隨在你人生
的路上。數字不知從何而起，也不知從何而終，甚至在０與１之間隱藏著無限細微的數
字樓梯，數也數不盡。但是就在永無止盡的０到９不斷反覆下，串起了工業的卓越發展
，挑起了分秒必爭的商業奇蹟，闖入理性客觀的科學世界，更在文學的巧妙語言中趁虛
而入。數字建構了如此宏偉而文明的世界，無論現代或未來，絕對沒有理由拒絕數字的
存在，也無法忽視其莫大的影響力。
通常人們關注的數字是它的直覺本質，但漸進發展的結果，則以各種不同的方式展現，
包括對數字、運算和它們之間關係的意義、做心算和估算時使用的各種不同數字的變通
形式、比較和排序數字、判斷計算結果合理性的數字、分解和組合數字、做為決策參考
的分析與統計數字等。
認知心理學家認為數學知識一如其他學科的知識，如閱讀、寫作與科學，可以分為描述
性知識與程序性知識。描述性知識涵蓋了一些事實、理論、物件與事件的知識，程序性
知識則是知道如何完成事情的知識。數學學得好的學生，在這兩類知識上通常比一般學
生略佳。
許多研究也發現數學概念的理解（描述性知識），在使用解題策略（程序性知識）的過
程中扮演了重要的角色。在研究數學概念理解的過程中，很多學者發現數字感極為重要
。數字感在性質上是一種概念理解的知識（描述性知識），除了是一種重要的數學概念
外，它也會影響到數學解題策略（程序性知識）的使用。
數學最重要的基礎在於數字和數字的結構。數字和語言、文字一樣，都是人類思維、行
為建構的一種符號、語意，這些載體本身都具有結構、系統及呈現的方式與策略，皮亞
傑（Piaget）、維高次基（Vygotsky）等大師都注意到語言文字與數理邏輯的緊密互動
關係。紀魯斯（Henry A. Giroux） 在其《越界研究》的專書結論中提到「我們需要檢
視各種結構」，除了結構之外，更應該重視各系統及因應策略間的概念轉移。
數字的發展
在許多古文明的文字記載中，都可以見到其文明中使用的數字表示法。最直接的方法就
是一條線代表一，兩條線代表二 …… 但是總不方便以十條線表示十，以一百條線表示
一百吧！事實上，有些地區的人一開始只能計算到三，三以上就被認為是很大的量了。
人類計數的演進是一部經歷數萬年的歷史。古埃及人和古巴比倫人以不同的圖形表示數
字，羅馬人則想出了用一個符號代表五，另一個符號代表十的方法，使得數字的表示較
為便利。
而阿拉伯數字的出現，挾其易懂易用的優勢，很快就成為世界共通的數字表示法。阿拉
伯數字其實並不是阿拉伯人發明的，而是印度人在約公元 3世紀時發明的，後來由於東
西方的商業往來而傳入西班牙。
在公元 7世紀時，阿拉伯人征服了周圍的民族，建立了東起印度，西經非洲到西班牙的
撒拉遜大帝國。後來，這個伊斯蘭大帝國又分裂成東、西兩個國家。當時兩國的首都非
常繁榮，尤其是東都巴格達，匯集了西來的希臘文化和東來的印度文化。阿拉伯人把兩
種文化吸收消化，從而創造了阿拉伯文化。
大約在公元 7世紀左右，有一位印度的天文學家拜訪了巴格達王宮，把印度的天文表獻
給當時的國王，也把印度數字 1、2、3、4…… 和印度的計算方法介紹給國王。印度數
字和印度計數法既簡單又方便，它的優點遠遠超過其他的計數方法，很快被阿拉伯人接
受，並廣泛傳播到歐洲各國，因此就稱作「阿拉伯數字」了。
而在公元 8世紀初期，阿拉伯數字也曾經傳到中國，但是當時不被中國人採用。到了16
、17世紀左右，西洋曆法傳入中國，這時又有人再次介紹和推廣阿拉伯數字，但還是未
被普及應用。直到 19 世紀末和 20 世紀初，由於大量翻譯西方的數學書籍，並受到西
方文化、科學、教育和經濟多方面的影響，阿拉伯數字才逐漸流行，因此中國普遍使用
阿拉伯數字的歷史不算太長。
中國的數字結構
中國數字的表示法是參照了大約在公元前 3世紀由印度婆羅米（Brahmi）所制定的「命
數法」，以四個進位數為一組單位，並以小數點做為分隔，且區分正數及負數，加上十
進位法，自成一套博大精深的計量結構體系。可惜國人甚少察覺這套嚴謹四進位的數位
架構，當唸一長串數字時，仍然習慣地從右邊最後面的個位數一個一個位數地算上去，
從左邊開頭讀出，並加入其間的組單位名稱，相當耗時間、沒概念、沒效率。
正確又具有概念的讀法應該是了解各組單位名稱後，以每四進位數為一組單位，非常有
規律地重複「千、百、十、個」。如此一來，即使十六位數字的讀法也可迎刃而解。
以 9999999999999999 為例，依照四位一進的組單位讀法，可立刻讀出九千九百九十九
「兆」、九千九百九十九「億」、九千九百九十九「萬」、九千九百九十九。正如我們
依序讀出 16 位數、四碼一組的金融卡卡號一樣，毫不費力，再加上各組單位的名稱，
井然有序。其規則是千是第四位數，「萬」是第五位數到第八位數，第九至十二位數是
「億」，而第十三位數到第十六位數是「兆」。
至於「兆」再上去依序是「京」（也就是第 17～20 位數）、「垓」（21～24位數）、
「秭」（25～28位數）、「穰」（29～32位數）、「溝」（33～36位數）、「澗」（37
～40位數）、「正」（41～44位數）、「載」（45～48位數）、「極」（49～52位數）
、「恆河沙」（53～56位數）、「阿僧祇」（梵文 asankhya）（57～60 位數）、「那
由他」（梵文 nayuta）（61～64 位數）、「不可思議」（65～68位數）、「無量大數
」（69～72位數）。
到 68 進位數以上，是一般凡人無法觸及到的極大繁多的超級「無量大數」。而所謂「
一日京兆」的意思，就是在一天當中，從 20 位數到 13 位數的榮華富貴化為烏有，意
指空歡喜一場。而《西遊記》中孫悟空擁有的「行者變化，一變十，十變百，百變千…
…」，其實不是七十二變，而是指有七十二進位數之多、變化多端、無限上綱、千變萬
化的廣妙神通。
以上是愛好冥想的印度人建構出來的博大浩瀚的數位架構，印度人在現象世界中，把數
量推展至 7 × 7＝49 位數的「極」之上。而「恆河沙」、「阿僧祇」等更大、更多的
數已是現象界不能夠「看」得「見」的物體，而是如華嚴經中所說的無數的單位（華嚴
經中，60進位數是「阿僧祇」，再由「阿僧祇」乘「阿僧祇」是「阿僧祇轉」，再自乘
一次才是接近無限大的「無量大數」）。至於「那由他」、「不可思議」、「無量大數
」等，已經是康德（Kant）所謂超乎想像、超乎實體的建構「存在」了。
至於小數點以下的「十退位」，其數位名依次是十分之一的「分」、百分之一的「釐」
、千分之一的「毫」，以及萬分之一的「絲」，仍是以四退位為一組單位的結構體系。
「絲」「毫」相對於「千」「萬」不差的精算系統，再縮小依序是「忽」（5～8）、「
微」（9～12） 、「纖」（13～16）、「沙」（17～20）、「塵」（21～24）、「埃」
（25～28）、「渺」（29～32）、「莫」（33～36）、「模糊」（37～40）、「逡巡」
（41～44）、「須臾」（45～48）、「瞬息」（49～52）、「彈指」（53～56）、「剎
那」（57～60）、「大德」（61～64）、「空虛」（65～68）、「清靜」（69～72）。
這 72 退位數的變少、變小，大概也只有悟「空」才有這個能耐，能夠在縮小到 68 退
位數而了悟「空虛」，到 72 退位數之後才能夠「清靜」無為。這好比把思維「歸零」
，或數學的「趨近於零」。在佛教中，就是要認知一切皆「空」，無我、無欲、無往、
無相、無執，達到捨己，看破紅塵，這絕非凡人能夠參悟出的玄奧道理。
中國語文運用之妙，由數位詞可見一斑。大部分凡人看不見的小到何處惹「塵」（第21
～24退位數）「埃」（第 25～28 退位數）之物，就顯得「渺」（第 29～32 退位數）
小，而「莫」（第 33～36 退位數）須有了。至於第 37～40 退位數的「模糊」，就
更加看不清了，殊不知還可以再縮小到「須臾」之間，再小到 7 × 7 ＝ 49 的 49 退
位數「瞬息」之際（或再簡稱為「瞬」間）。
而再更微觀則可小到「彈指」間，再小則時「間」的「間」隔也沒了，就成了一「剎那
」。再微小到「大德」，已經不是一般人可以想像的微乎其微了。
印度人並未把時間和空間分隔，位數很大時，原則是以容易看得見的空間為單位，如「
秭」、「穰」、「溝」、「澗」、「恆河沙」；位數達到極小時，則是以肉眼難見到的
時間為單位，如「須臾」、「瞬息」、「彈指」、「剎那」。太精細的數字中國人不屑
理會、不求甚解，甚至嗤之以鼻，認為那些是「微」不足道的事。只有心思細密的人如
陸機在《文賦》裡，把時、空交融，呈現為「觀古今於須臾，撫四海於一瞬」，才能感
受那種唯微精一、觀微至極的細膩微妙。
中國人採用印度的數位算法，把宏觀的漸大、多，與微觀的漸小、少，分別由小數點（
dot）向兩端展開，各有七十二數位，共有 144（12 × 12）位數。兩端各以四進、四退
位發展，有規律地呈現「千、百、十、個」四個數位，同時也呈現整齊又規律、對稱的
語意。
古云「差之毫釐，失之千里」，清晰地呈現博大的宏觀架構與精深的微觀架構間的對應
關係，因為小數點以下的「毫」對應小數點以上第四進位的「千」。第五進位的「萬」
，則與小數點後的「絲」對應，是以「千萬」財富對「絲毫」未得，「萬萬」不可對「
絲絲」入扣，「萬無一失」對「一絲不茍」，「萬縷穿身」的相反則是「一絲不掛」。
宏觀、微觀的大千、小盛世界都是相對應的。
西方的數字結構
西方的數字可以用英文體系為例，它把若干西方不同文明加以融會運用。英文的數位是
一套完全不同於中式的系統、結構、概念，以「三進位數」為一單元，並且在阿拉伯數
字後面每三進位數加一逗號（，），確也能夠做到一目了然，更精準、更科學的表示效
果。
英文的一連串數位因為有「，」區隔，再加上每個單元只有三個數位，所以不必從個位
數由右向左一個一個地數上來，再從左向右一路唸下去，只要把每三個數位分成一組，
一個都是 9的十二位數立刻就能唸出來（nine hundred and ninety-nine billion,
nine hundred and ninety-nine million, nine hundred and ninety-nine thousand,
and nine hundred and ninety-nine）。比 billion（美式十億，英式是兆）再大三位
數就是 trillion （美式是兆，英式是百萬兆），再大極多位數就是 zillion，zillions
of zillion已經接近無限大了。
在科學記數上，西方則以希臘字母來取代，如千使用 K（Kilo），再大的數分別是 M（
Mega）、G（Giga）、T（Tera）、P（Peta）、E（Exa）、Z（Zetta）、Y（Yotta） 。
英文數位的減少仍依「三退位數」為一單元，與數位的增加屬同一架構。退位數的第一
單元是「毫」（10^(-3) ，千分之一），再來是「微」（10^(-6) ，百萬分之一）、「
奈」（10^(-9) ，十億分之一），它們對應的希臘字分別是 m（milli）、μ（micro）
、n（nano）。
如以長度「米」為單位，分別是 10^(-3)的「毫米」（millimeter），10^(-6) 的「微
米」（micrometer），再小就是目前在半導體中最常提到的 10^(-9) 的「奈米」（
nanometer）。以時間「秒」為單位時，毫秒（millisecond）是千分之一秒，而奈秒（
nanosecond）就是毫微秒，數學式可表示成 10^(-3) × 10^(-6)＝10^(-9) 因此「奈」
就是 10 的負 9次方（退 9位數）。
20世紀以來人類大量使用顯微鏡觀察微生物的顯微結構，日常生活中也經常使用微波爐
，並且與現代電腦軟體的代名詞－微軟形影不離，代表「微」這個單位的希臘字母「μ
」已是眾所皆知、司空見慣了。
當前人們大量使用的更細微單位「奈」，可說是科技發展的當紅炸子雞，是最有價值的
單（數）位名稱。如半導體工業引以為傲的奈米技術，半導體晶圓生產從 0.18 微米（
180 奈米）製程精進到 0.13 微米（130 奈米）製程，再進步到 0.09 微米（90奈米）
的先進製程，這種技術已經進入更「微」小的奈米世界，必然需要奈秒、奈克、奈瓦，
奈奈必爭的超精密量度了。
數字結構的融合與對照
中西方數字結構各自遵守統一、簡明的規則。由於英文數字是三進位數為一單位，而中
文數字是四進位數為一單位，因此中文第五位的「萬」、第八位的「千萬」，在英文數
位表示上就得改稱、改名。當我們唸英文時，「千」「萬」不可一味地停留在中文以「
萬」計量的概念，「萬」在英文的數位並沒有專屬稱呼，只好改稱十千，再進一位的十
萬就唸作百千，「千萬」也應該改唸十百萬，這也可以說是重新建構數位的唸法、寫法。
同理，在微觀的世界裡，絲毫不差的精密計算與絲絲入扣的描述中，也只好僅保留到「
毫」的數位。「絲」與「萬」相對應，英文中沒有萬這個單位，自然也就沒有與絲相互
呼應的單位，就只好以「十分之一毫」來表示「絲」了，如藥物的計量中以「十絲」克
為一「毫」克。
中英的不同數位讀法，如維高次基所提，能同時建構人類腦部的「趨近發展區」。有些
人把兩種趨近的語碼（雙碼並存）同時建構在長期記憶區，也就是同時具備雙母語，中
英文俱佳。如此一來就好比使用豪華名貴的雙併大樓的雙樓梯，上下樓自然寬敞又方便
。但八、九歲以後把英語當第二語言的學習者，就需要清晰、精準地做比較，以便確切
了解兩種結構、兩套系統間的異同，再內化為固定而精熟且經常運用的雙架構。
一般中國人遇到唸中英數位都有不三（英式）不四（中式）的困擾，而產生皮亞傑所謂
的「不平衡」，這時候就要看讀者中文是否較強，如果中文較強勢，就以中文的分法來
統整西方的觀念。如果為了與世界接軌，就必須採用英文的觀念、概念，重新採納全新
的組織系統，才不至於不中不西、不三不四、含混不清了。
在「瞬息」「萬」變的時刻，「萬」這個數位引申的概念、觀念、制度、系統漸被廢除
，如萬歲爺、萬萬歲，或如馬來西亞華人把原來中印的「萬」改稱「十千」，十萬改稱
「百千」，百萬為「千千」。
然而「萬」自從由印度佛教傳到中土，就開始漸漸鎔鑄為中華文化的一部分，攸關「萬
」的成語，千「萬」或「萬萬」不可一併廢除，因為可能同時失去「萬」事如意、「萬
」眾一心、「萬」無一失、心游「萬」仞（《文賦》），而換來「千」瘡百孔、「千」
奇百怪的心有「千千」結。治「絲」益棼指一件事情被處理得越來越複雜，而在「微」
觀世界裡，「絲」相對應於「萬」，這種小或少到萬分之一，已經沒有頭緒了，再精密
細分為「微」（百萬分之一）、奈（十億分之一）就更加無可「奈」何了。
從事改造，理論與方法固然重要，心態似乎也很重要。今天，我們面對的很多問題常常
是以前如此、現在也如此，很少去問為何如此，有此必要嗎？還合適嗎？如果繼續以為
農業或工業社會設計的觀念與想法，面對要在 21 世紀資訊社會中過大半輩子的下一代
，合適嗎？
然而捨棄過去一些不合時宜的傳承，會不會讓我們失去更多呢？就如中共文化大革命的
中文簡體化，以及現今ｅ世代使用的火星文，是否會使許多中國文化與文字藝術之美流
失，喪失了承先啟後、繼往開來的功能？不三不四的數字使用方式，或者重新建構一套
全新的數字架構與規範，是否也會降低了我們的數字感度和文化涵養？這是值得深思的
問題。
資料來源：《科學發展》2008年03月，423 期，62～67頁
http://www.nsc.gov.tw/files/popsc/2008_41/62-67.pdf