※ 引述《dodomilk (豆豆奶)》之銘言：
這篇好像已經很詳盡了，來隨便寫一些東西好了。
在很久以前，人們認為x^2這種表達法一定是表達某個面積，因此，x^2不能是負的，因為
沒有這樣的面積。然而，數學的發展使得人們必須引入虛數，例如在三次方程的卡丹公式
解中必須計算虛數。
當時的背景其實也只有考慮實數解而已。但某些係數的選擇會使在三次方程公式解中必須
要考慮負數的平方根，並且在適當的運算規則下，最後會得出實數解。儘管很不高興，人
們必須承認虛數的用處。
然而虛數並不imaginary。cf.高斯平面（複數平面）。
在推文中提到的關於直線的定義問題可以用intrinsic geometry解釋。一般來說，我們會
考慮一個流形(以下稱manifold)，並考慮上面的測量長度方式(metric tensor)。在這樣的
設定下就可以定義測地線，與各種幾何概念。測地線簡單的說，就是一個生活在這個manif
old上的螞蟻會感受到的直線。螞蟻比人類厲害多了。
如果我們考慮R^3空間中的2-fold，R^3中的metric tensor自然地給出其上的一種metric
tensor，並且可以用最原始的定義開始定義高斯曲率。如果一開始我們考慮的是一個
2-fold with given metric tensor，則所有使它嵌進R^3中並保持metric tensor的方法
會給出一樣的高斯曲率。也就是說，儘管高斯曲率的原始定義與嵌法有關，經過精妙的
計算後會發現只與metric tensor有關。這就是高斯絕妙定理Theorema Egregium。
Remark:我覺得高斯可能覺得他的quadratic reciprocity law比較絕妙。
所以後續提到的Poincare disk其實並不是一個這樣的好的鑲嵌，但是這是一個容易計算的
模型。另一個模型是數論中的寶地，H = Poincare upper half plane，metric tensor為
ds^2 = ( dx^2 + dy^2) / y^2.
測地線全部都是垂直邊界的圓弧。這個metric tensor給出volume form
du = dxdy/y^2.
這個volume form 在H的自同構群PSL_2(R)作用下不變。mobius transform自然地給出
H=SL_2(R)/SO_2(R)，du就是left invariant quotient measure。

幹，以為走錯板

無上定理保證了想要完美地在紙上繪製地圖是做不到的喔

咒文^2

老兄 你一篇文章裡面一堆不平常的定義 是要寫給誰看啊

為什麼每個字都認識，但完全不知道在講什麼？

語言的博大精深 分開看看得懂 組合一下就看不懂了

瞬間變成數學板

完....完全看不懂

好久沒碰這個頭好痛

你不要拿數學系的習慣（敘述中文名詞英文）來c洽發文拉><

跟我想的....一樣，說的真好

這裡是西

哦哦，有數學系的回文了嗎XD 要不是我正好在看這本書，也不會看得懂這篇內容XDD

另外原篇把龐加萊圓盤寫成球殼投影很怪吧

果然是念數學的，對長度定義的說明嚴謹多了

推螞蟻比人厲害多了這句

對對對 沒錯就是這樣

嗯嗯 跟我想得差不多

數學系的東西真是比高中數學深好多好多

嗯嗯 看不懂

兄D可以講人話麻==

嗯嗯 我沒進錯板

恩恩

陳獨秀同學...

對對對 我印象中也是這樣

3次方根的公式很神奇 結論是可以繞過虛數w

現在是肩膀上有花的都進來了？

我看到一堆英文名詞就炸了

我老實承認我看不懂

嗯嗯好哦

推阿

說啥呢

推樓樓上 師爺 你給翻譯翻譯 什麼叫他媽的_____

西恰學數學

嗯嗯 跟我想得差不多

從第二段中間開始我就沒看懂了

這篇太深了啦XDD 一般人看不懂

阿鬼你還是說中文吧

嗯嗯 跟我想的差不多

嗯嗯 跟我想得差不多