先聲明我這篇文章的目的不是要分析真實棒球場上的狀況
只是做個簡單的數學練習題而已
誠如 eagleflyfree 所言，
在最初 ensuey 文章中並沒辦法看出他所宣稱「該出局未出局的影響」
而只能看出取得平均要抓一個出局數需要面對幾個人次
此外，正如 KDDKDD 所說，他的方法只考慮到接下來兩棒，所以並不正確
以下我們來計算到底平均抓一個出局數需要面對幾人次
當然，我要用不少(可能跟實際狀況差很多)的假設
1. 每一棒只有製造一個出局與沒有出局(就是上壘啦)兩種情況
2. 每個打席上壘的機率都是 p
3. 每棒之間的結果為獨立事件，換句話說，連續兩棒上壘的機率為 p^2
第一個打席就抓到出局數的機率當然是 1-p
第二的打席才抓到一個出局數的機率就是第一棒上壘且第二棒出局，機率是 p*(1-P)
同理，第三個打席才抓到的機率是 p*p*(1-P)
第 N 個打席才抓到的機率就是 p^(N-1)*(1-P)
接著我們來算要面對多少個打席才能抓到一個出局數的期望值
算法是 N 乘上 第 N 個打席抓到出局數的機率， N 要從 1 加到無限大
也就是 期望值 = 1*(1-p) + 2*p*(1-p) + 3*p*p*(1-p) + ... + N*p^(N-1)*(1-p)+...
把 1-p 提出來得 (1-p)[1 + 2p + 3p^2 + 4p^3 + ... + Np^(N-1) + ...]
接下來大一微積分要派上用場了
還記得 1+ 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...... = 1/(1-x)^2 嗎?
這式子剛好就是我們方括號裡的東西
所以期望值 = (1-p) * 1/(1-p)^2 =1/(1-p)
數學形式還滿簡單的呢!
就把 p 用 ensuey 所說的上壘率 0.378 帶進去吧
我們得到平均抓一個出局數所要面對的打席數是 1.6 人
(嘿，竟然跟他原本算的差不多)
不過我並沒有實際平均一出局數要多少打席的數據，
所以不知道這個結果到底合不合理(也就是這個假設好不好啦)
還請板上的強者們幫忙了