※ 引述《Yada (亞洲第一大)》之銘言：
: 本魯蛇碰到一個天大的難題
: 想說八卦理組高手很多
: 特地跑來求教
: 就是１＋１－１＋１－１＋．．．．．．．．．．．．．．．．．．
: 這樣加減下去
: 到底是多少啊
: 有人說是０
: 有人說是１
: 有人說是０．５
: 還有人說是無限大
: 有沒有人可以跟我說到底哪一個才是正確的答案？
大家好、打給厚、胎嘎後、口泥幾哇、ladies and gentlemen，
這級數和不存在喔～不過如果用別種求和概念，就又可以有答案了！
以S_i表示前i項的和，如果S_1、S_2、...、S_n的平均在n趨近於無窮大
時會收斂至一值，則稱該值為級數的Cesaro sum。
Cesaro sum是傳統求和的推廣，也就是如果一個級數和收斂，則該級數
就有Cesaro sum，且其Cesaro sum就等於其級數和。這點不難證明。
另外還有一種叫做Abel sum，也就是看
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...
在x從左方趨近到1時，是否收斂至一值（其中a_i表示數列的第i項，x^i
表示x的i次方），如果答案是肯定的，我們就說收斂到的值為級數的
Abel sum。
Abel sum是Cesaro sum的推廣，也就是如果一個級數有Cesaro sum，則該
級數就有Abel sum，且其Abel sum與Cesaro sum同值。這件事數學家Hardy
有證明過（但本魯不知道是誰最先證的），請不要問本魯怎麼證，反正本
魯忘光了，其實也就是本來就沒有真的懂過...
原po問的1+1-1+1-1+... 並不收斂，所以沒有classical sum，但有Cesaro
sum（為3/2），這3/2的來源也就是直覺上想的：有一半的時候是1、一半
的時候是2。
至於Abel sum呢？依定義就是要看
1 + 1 x - x^2 + x^3 - x^4 + ...
在x從左方趨近到1時，是否收斂，答案一定是收斂的，不必算，因為剛剛
說了Abel sum是Cesaro sum的推廣，所以既有Cesaro sum且為3/2，當然
Abel sum就一樣存在且為3/2。
明顯地，有不收斂但Cesaro sum存在的級數，原po給的1+1-1+1-1+... 就是
一個例子。
那有沒有Cesaro sum不存在、Abel sum卻存在的級數呢？答案是有的，所以
Abel sum是「真的」有推廣到Cesaro sum，不會兩者剛好是一模一樣的概念。