※ 引述《devidevi (蜜蜜)》之銘言：
: ※ 引述《zax8419 (不要查我哎批嘛Q)》之銘言：
: : %如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數
: : 一個至今還在爭論の數學(?)問題
: : (3)1+2+3+4+.......= -1/12 ?
: 1.誰可以告訴我，為什麼正數無限相加會等於負的???
: 2.如果這點是謬論，可以代表這個人所說都都是謬論嗎??
我們可以先考慮1 e^(-x) + 2 e^(-2x) + ...
這個級數無論正數x多小都會收斂，所以可以求和
其結果是 e^(-x)/(1-e^(-x))^2 = 1/x^2 - 1/12 + x^2/240 + ...
~~~~~~
然後再令x→0，得到1 + 2 + ... = ∞ + (-1/12)
當然這個結論大有問題
畢竟今天我們是用一個特定的變形（e^(-nx)）來求和
藉以分離無限（隨著x發散的部分）跟有限（-1/12）
題目本身並沒有告訴我們要先乘上這個exp再令x→0呀
萬一我們用了其他變形，比如說e^(-nx^2)或(n/L)^(-x)
那我們怎麽保證答案還會一樣？
事實上這就是物理學家所謂的regularization的關鍵
可以證明在這個例子（以及其他的：量子場、弦論等）
只要這個變形滿足某些性質
例如說1. x代0要回到原本的和 2. 收斂速度夠快 等等
用哪個函數都會給出-1/12這項
所以才會有人說是∞ + (-1/12)
許多人或許聽過夸克、微中子、希格斯粒子
我們對這些粒子物理的理解是建構在量子場論上的
卻很少人知道量子場論差點被整套打掉重來
就因爲不管你做什麼計算都會碰到無限大
電荷？無限大.質量？無限大.機率？無限大.
東補西補物理學家得到一個結論：
只要這個無限大是∞ + a 這種形式
那就有希望把∞的部分藏到理論定義裡面
使得我們可以得到有限的a這個結果
而這當然得要a的值不取決於我們怎麽藏∞
一個有名的例子是Casimir effect, 真空極化能量
主要是人們在計算時剛好碰到了1 + 2 + 3 + ...
想當然耳就想盡辦法把∞藏起來用-1/12當答案了
而這個效應卻是真實可測量的
也因此不能再說-1/12只是數學把戲而已
弦論之所以會常被跟1 + 2 + ... 連在一起
是因爲某種弦的振動可以對應到1單位, 2單位, ... 的能量
總能量就用-1/12做計算，其他的藏起來了
科普比較少提到的是就因爲這個-1/12
這個版本的弦論必須在12 * 2 + 2 = 26 維時空才能存在
打得太長大概很多人會直接END
稍微有些微積分底子的板友
可以試試用不同的變形得到-1/12
對數學物理不感興趣的板友
只要知道當初物理學家也是不得已才研究這個的
不是想隨便唬爛人
延伸閱讀：
Quantum Field Theory and the Standard Model, Ch. 15

嗯嗯 跟我想的一樣 我正要準備打一篇

剛考完試，讓人放鬆一下可以嗎

rrrrrr先推可是真的看不懂

看不懂啦

感謝分享

推解釋 但這個workaround真的很醜 外行人看來啦

恩恩 我昨天的申論題也寫這樣

你弦論系??

推認真

跟我理解的差不多

優質文大大推

我也是這麼認為，只是如果原po可以說人話就更完美了

深夜U文

先推 免得別人以為我看不懂

早就知道了哼

感謝分享

Casimir effect與真空極化關聯不大吧！

感謝這些數學工具才有今天的物理

= =????我覺得我應該是智障

還好看懂87%

不推不行，不過批踢踢鄉民應該也不在乎

看了第一行頭就好痛

原來如此 漲姿勢了

你害我想到我20年前寫的論文了

看的懂的人才有資格推

怎把我上次跟你說的事情講出來了呢

黑人問號????

" target="_blank" rel="nofollow">

只看到希格斯粒子,以為是E

推

英雄所見略同

優質文

喔喔喔

這陣子討論數學的好多 終於有一篇有水準的了

專業推

快推 不然人家以為我看不懂

推專業，看無

無聊 Sheldon都改研究黑洞了

專業推

每個字都看得懂

每個字都看的懂+1

跪

老師你失眠了嗎？